Problema de optimización restringida

Question

Para problemas de optimización, solo se nos han dado escenarios en los que podemos resolver simplemente haciendo MRTS = -w/r y la cantidad que se desea producir se indica en la pregunta.

Sin embargo, me dieron esta pregunta

Aquí, según entiendo, podemos hacerlo a través de métodos Lagrangianos, pero aún no se nos ha enseñado esto. Hasta donde sé, la pregunta pregunta cuál es la mejor combinación de producción de ambas fábricas para producir un total de 4 unidades al costo total más bajo.

Para hacer esta pregunta, debes igualar MC=MC, que puedes obtener mediante métodos Lagrangianos. Sin embargo, me dijeron que esta condición también es solo intuición básica, pero no tengo idea de por qué tener esta condición llevaría al menor costo total. Agradecería si alguien pudiera explicar la intuición paso a paso.

Answer 1

Dada la función de coste de las dos plantas $c_1(q_1)=10q_1-4q_1^2+q_1^3$ y $c_2(q_2)=10q_2-2q_2^2+q_2^3$, queremos resolver el siguiente problema de minimización de costes: \begin{eqnarray*}\min_{(q_1,q_2)\in\mathbb{R}^2_+} & c_1(q_1)+c_2(q_2) \\ \text{s.t.} & q_1+q_2=4\end{eqnarray*} Aquí está la gráfica de los costes marginales de las dos plantas, donde podemos observar y comparar diferentes posibilidades para la solución en el gráfico de abajo.

Si observamos los costes marginales de las dos plantas en el gráfico anterior, notamos que la solución óptima es donde las dos empresas operan al mismo costo marginal, es decir, donde $10-8q_1+3q_1^2=10-4q_2+3q_2^2$ y $q_1+q_2=4$ se cumplen. Esto nos da la solución $q_1^*=\frac{8}{3}$ y $q_2^*=\frac{4}{3}$. En la imagen anterior, el coste óptimo está representado por el área coloreada que es igual a $c_1(\frac{8}{3})+c_2(\frac{4}{3})$.

Answer 2

La intuición es que una empresa debería producir al menor costo posible. Supongamos $MC_1, entonces la empresa debería dejar que la planta 1 produzca mientras se cumpla esta desigualdad. Dado que el costo marginal aumenta en ambas plantas, la desigualdad eventualmente se violará. Es entonces cuando la planta 2 se convierte en la planta menos costosa y debe tomar la responsabilidad de producción de la planta 1. Eventualmente, el arreglo óptimo de producción ocurre cuando las dos plantas tienen costos marginales iguales.

Formalmente, la intuición se puede demostrar en el siguiente ejercicio de minimización de costos. Sea $C(q)$ la función de costo a nivel de empresa y $C_i(q_i)$, donde $i=1,2$, las funciones de costo a nivel de planta. \begin{equation} C(q) = \min_{q_1,q_2}\;C_1(q_1)+C_2(q_2), \qquad\text{tal que }q=q_1+q_2. \end{equation} El Lagrangiano para la minimización es \begin{equation} \mathcal L(q_1,q_2,\lambda) = C_1(q_2)+C_2(q_2)+\lambda[q-q_1-q_2]. \end{equation} Suponiendo soluciones interiores, las CPO implican \begin{align} \frac{\partial C_i}{\partial q_i} = MC_i(q_i^*) = \lambda, \qquad i=1,2, \end{align} lo que significa que $MC_1(q_1^*)=MC_2(q_2^*)$ en el óptimo.

Answer 3

Una forma de mostrar formalmente (sin el método de Lagrange) que para un costo mínimo debemos tener $MC_1=MC_2$:

Sea $C(q_1)=C_1(q_1)+C_2(q_1)$ donde $C_2(q_1)$ es la función de costo obtenida substituyendo $q_2=4-q_1$ en $C_2(q_2)$. Una condición de primer orden para que $C$ sea un mínimo es:

$$\dfrac{dC}{dq_1}=\dfrac{dC_1}{dq_1}+\dfrac{dC_2}{dq_1}=0\quad\quad(1)$$

Pero dado que $q_1=4-q_2$ tenemos:

$$\dfrac{dq_1}{dq_2}=-1$$

y así:

$$\dfrac{dC_2}{dq_1}=-\dfrac{dC_2}{dq_2}$$

Por lo tanto, sustituyendo en (1):

$$\dfrac{dC_1}{dq_1}-\dfrac{dC_2}{dq_2}=MC_1-MC_2=0$$

lo cual implica que $MC_1=MC_2$.