Comparativas estáticas y teorema de la función implícita con 3 ecuaciones

Question

He resuelto un problema de optimización que produce el siguiente conjunto de condiciones de primer orden: \begin{align} p_x(x,y)V(a)=k \\ p(x,y)V'(z)=1 \\ p_y(x,y)V(z)=1 \end{align} Donde x, y y z son las variables de control mientras que los parámetros $a$ y $k$ son números reales positivos. $p(\cdot)$ es una función de probabilidad, estrictamente creciente y estrictamente cóncava en ambos argumentos. No se hace ninguna suposición sobre la derivada cruzada (pero se puede hacer si es necesario). $V(\cdot)$ también es estrictamente creciente y estrictamente cóncava. x, y y z deben ser no negativos.

Mi objetivo es encontrar cómo responde $x^*$ en equilibrio a un aumento en el parámetro k, es decir, el signo de la derivada de $x^*$ con respecto a k.

Estoy familiarizado con el teorema de la función implícita con una ecuación, pero no estoy seguro de cómo configurarlo cuando tengo 3 ecuaciones y múltiples variables que se afectan mutuamente, como en este caso. ¿Podría alguien ayudarme a resolver este problema, paso a paso?

Answer 1

Diferenciar totalmente cada ecuación con respecto a $(k,x,y,z)$:

\begin{align} V(a)[p_{xx}dx+p_{xy}dy]&=dk \tag{1}\\ V'(z)[p_xdx+p_ydy]+pV''(z)dz&=0 \tag{2}\\ V(z)[p_{xy}dx+p_{yy}dy]+p_yV'(z)dz&=0 \tag{3} \end{align}

Este sistema se puede escribir en forma matricial como

$$\begin{pmatrix} V(a)p_{xx} & V(a)p_{xy} & 0\\ V'(z)p_x & V'(z)p_y & pV''(z)\\ V(z)p_{xy} & V(z)p_y & p_yV'(z) \end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\ dy \\ dz\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}dk\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\tag{*}$$

y se resuelve invirtiendo la matriz $3\times3$ (asumiendo que es invertible):

$$\begin{pmatrix}dx\\ dy \\ dz\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} V(a)p_{xx} & V(a)p_{xy} & 0\\ V'(z)p_x & V'(z)p_y & pV''(z)\\ V(z)p_{xy} & V(z)p_y & p_yV'(z) \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}dk\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial k}\\ \frac{\partial y}{\partial k}\\\frac{\partial z}{\partial k}\end{pmatrix}dk.$$

Sin embargo, si solo te interesa $\partial x/\partial k$, y estás haciendo esto a mano, entonces esto implica más trabajo del necesario, por lo que una alternativa sería la siguiente:

Resolver $(1)$ para $dy$ da

$$dy=\frac{1}{V(a)p_{xy}}dk-\frac{p_{xx}}{p_{xy}}dx$$

Sustituir en $\frac{p_{xy}}{V'(z)}\times (2)$ y $\frac{p_{xy}}{V(z)}\times(3)$ da

\begin{align} \left(p_xp_{xy}-p_yp_{xx}\right)dx+\frac{p_{xy}pV''(z)}{V'(z)}dz&=-\frac{p_y}{V(a)}dk \tag{4}\\ \left(p_{xy}^2 -p_{xx}p_{yy}\right) dx+\frac{p_{xy}p_yV'(z)}{V(z)}dz&=-\frac{p_{yy}}{V(a)}dk \tag{5} \end{align}

¡Etc!

Solo eliminar $dz$ de las ecuaciones para obtener una ecuación en la forma $dx=Mdk$. La expresión para la derivada parcial que deseas es $M$.

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El método más generalmente aplicable que te permitirá encontrar las derivadas de $x$, $y$ y $z$ con respecto a $a$ y $k$ es el siguiente:

Sea $F:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^3$ dada por

\begin{align} F_1(a,k,x,y,z)&=p_x(x,y)V(a)-k\\ F_2(a,k,x,y,z)&=p(x,y)V'(z)-1\\ F_3(a,k,x,y,z)&=p_y(x,y)V(z)-1 \end{align}

Con esta notación, $F(a,k,x,y,z)=0$ es la ecuación que potencialmente define $(x,y,z)$ como una función implícita de $(a,k)$.

El Jacobiano de $F$ con respecto a $(x,y,z)$ es (la misma matriz $3\times 3$ que en la ecuación $(*)$ anterior):

$$J_{F,(x,y,z)}\begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x} & \frac{\partial F_1}{\partial y}& \frac{\partial F_1}{\partial z}\\ \frac{\partial F_2}{\partial x} & \frac{\partial F_2}{\partial y}& \frac{\partial F_2}{\partial z}\\ \frac{\partial F_3}{\partial x} & \frac{\partial F_3}{\partial y}& \frac{\partial F_3}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p_{xx}V(a) & p_{xy}V(a)& 0\\ p_xV''(x) & p_yV'(x)& pV''(z)\\ p_{xy}V(z)& p_{yy}V(z)& p_yV'(z) \end{pmatrix}$$

y el Jacobiano de $F$ con respecto a $(a,k)$ es

$$J_{F,(a,k)}\begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial a} & \frac{\partial F_1}{\partial k}\\ \frac{\partial F_2}{\partial a} & \frac{\partial F_2}{\partial k}\\ \frac{\partial F_3}{\partial a} & \frac{\partial F_3}{\partial k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p_{x}(x,y)V'(a) & -1\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Si $J_{F,(x,y,z)}$ es invertible, entonces la matriz jacobiana de derivadas parciales es

$$\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial a} & \frac{\partial x}{\partial k}\\ \frac{\partial y}{\partial a} & \frac{\partial y}{\partial k}\\ \frac{\partial z}{\partial a} & \frac{\partial z}{\partial k} \end{pmatrix}=-[J_{F,(x,y,z)}]^{-1}J_{F,(a,k)}$$