Cómo atribuir PnL a factores en un modelo multifactorial

Question

Tengo un modelo multifactorial y estoy tratando de descomponer el PnL de una cartera dada en diferentes factores. Esta teoría tiene sentido.

Pero consideremos una cartera de $n$ ($n$ es igual al número de factores en nuestro modelo) acciones de un país en particular (digamos Japón). Supongamos que todas las acciones tienen exposición a la moneda JPY.

El modelo multifactorial incluye los factores de Japón y JPY como 2 factores separados. También suponer que la cartera está equilibrada entre todas las acciones, por lo que $W$ es básicamente una matriz identidad, $W=I$.

Ahora $X^TWX$ es efectivamente $X^TX$. $X$ tendría dos columnas llenas de 1 ya que la exposición de todas las acciones a los factores JPY y Japón será 1. Pero debido a esto $\text{det}(X) = 0$ y por lo tanto $\text{det}(X^TX)=0$. Entonces, $X^TWX$ no es invertible.

¿Cómo se resuelve esto en el modelado multifactorial para estos casos?

Answer 1

Puedes agregar un pequeño término de penalización que penalice la norma L2 de los rendimientos de los factores. Entonces en lugar de resolver

$$ \ min_f || r - Xf || _2 ^ 2 $$

resuelves

$$ \ min_f || r-Xf || _2 ^ 2 + \ lambda || f || _2 ^ 2 $$

que tiene la solución (asumiendo pesos unitarios)

$$ \ hat {f} = (X ^ T X + \ lambda I) ^ -1X ^ T r $$

Puedes hacer $ \ lambda $ tan pequeño como desees, y $ X ^ TX + \ lambda I $ siempre será invertible incluso cuando $ X $ contiene factores linealmente dependientes. El límite cuando $ \ lambda $ tiende a cero es la pseudo-inversa de Moore-Penrose de $ X ^ TX $ es decir

$$ \ hat {f} = (X ^ TX) ^ + X ^ T r $$

En el caso específico que discutiste, donde cada acción tiene una exposición unitaria a un factor "Japón" y también a un factor "JPY", tu matriz $ X $ se parece a (para el caso de 4 acciones)

$$ X = \left( \ principio {array} & 1 y 1 \\ 1 y 1 \\ 1 y 1 \\ 1 y 1 \ final {matriz} $$

y los portfolios de imitación de factores son

$$ (X ^ TX) ^ + X ^ T = \ left( \ principio {matriz} &.125 y .125 y .125 y .125 \\ .125 y .125 y .125 y .125 \\ \ final {array} $$

es decir, los dos portfolios de imitación de factores son idénticos, y cada uno tiene un peso total de $ 0.5 $ . Si en cambio tuvieras un solo factor es decir, solo "Japón" o solo "JPY" pero no ambos, entonces el portfolio de imitación de factores tendría un peso de 0.25 en cada acción, con un peso total de 1.