¿Cuántas opciones son necesarias en la computación de una medida "sin modelo"?

Question

El VIX en sí se calcula a través de una medida "libre de modelo", o más bien, utilizando un continuo de precios de opciones OTM para llegar a una "medida P" de volatilidad implícita.

Quizás sea obvio que cuantas más opciones haya, más precisa será la aproximación. ¿Existen ideas/artículos sobre cómo se debería proceder para calcular medidas libres de modelo (volatilidad implícita, asimetría/curtosis de riesgo-neutral)? ¿O varía caso por caso?

¿Debería uno intentar obtener el mayor número posible de opciones? Por lo tanto, (siempre) utilizando un tipo de función para ajustar un gráfico (como el pago de opciones de compra) y luego discretizando para generar este continuo de precios?

Answer 1

La respuesta es "depende".

Si se puede replicar un determinado pago utilizando precios observables, entonces esto es, por definición, un precio libre de modelo (a menos que haya arbitraje, por supuesto).

El caso más sencillo es que cualquier pago europeo se pueda replicar utilizando un continuo de calls y puts (fuera del dinero, en el dinero no importa, siempre y cuando cubran todos los strikes), y podemos asumir que su diferencial de oferta y demanda es cero.

Esto a menudo no es el caso en la realidad, ya que solo habrá un número finito de opciones disponibles para construir la estrategia.

En esta situación, solo se podrá construir una estrategia de sobre/sub-replicación, por lo que solo se podrán generar precios de oferta y demanda para el pago deseado.

La pregunta es: ¿cuál es la forma más barata de replicar un pago desde arriba? ¿Para que el pago final siempre esté por encima del objetivo?

Y lo mismo para lo contrario, "por debajo del objetivo".

Formalmente, si $T(s)$ es el pago objetivo y puedo usar calls para los strikes $K_i$ y precio $P_i$ en la misma madurez, tengo que resolver estos 2 problemas

$ASK = \min_{\alpha_i} \sum_i \alpha_i P_i$ sujeto a $\sum_i \alpha_i C_i(s) \ge T(s) \, \forall s$

y

$BID = \max_{\alpha_i} \sum_i \alpha_i P_i$ sujeto a $\sum_i \alpha_i C_i(s) \le T(s) \, \forall s$

Cuanto más cercanos estén los 2 precios, más precio libre de modelo se obtiene.

El problema es fácil de resolver si uno acepta verificar la sobre/sub-replicación en una cuadrícula finita (y no para todos los $s$). Entonces se convierte en un problema fácil de programación lineal.

Se entiende que habrá casos en los que esto funcione mejor que en otros, y que los mismos casos inviables son más benignos que otros.

EDIT: Lo de el multiplicador de Lagrange no estaba correcto, lo eliminé.

Answer 2

Andrea ha respondido en gran medida tu pregunta (+1), es decir que se necesitan un continuo de opciones para sintetizar o valorar una cantidad libre de modelo. Por ejemplo $$ E[F(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} F(x) p(x) dx $$ es libre de modelo suponiendo que $p(x)$ puede ser calculado a partir de precios observables de opciones de vainilla a través de Breeden-Litzenberger.

La integral se puede aproximar por debajo o por encima, como también explicó Andrea.

Lo que me gustaría añadir es que "libre de modelo" es en realidad una condición / requisito muy fuerte. Una noción un poco más débil podría ser llamada "libre de parámetros".

Un caso concreto son el swap de varianza monitoreado continuamente / índice VIX que mencionaste. Dadas sólo opciones europeas de vanilla sobre el subyacente, el swap de varianza / VIX es "libre de modelo" sólo para la clase de modelos de difusión. En presencia de saltos, el swap de varianza ya no se da por la fórmula usual de replicación que involucra puts y calls. Por lo tanto, en mi opinión, el swap de varianza es más apropiadamente llamado libre de parámetros para modelos de difusión ya que no depende de los parámetros (y por ende forma específica) del modelo de difusión que genera la sonrisa/inclinación.

E incluso una noción más débil, pero aún bastante general, es la aproximación libre de parámetros. Un ejemplo de esto es el swap de volatilidad, que tiene una aproximación libre de parámetros para la clase de modelos de volatilidad estocástica.