Cambridge Capital Controversy: ¿qué tecnología necesitamos para que ocurra "reswitching" de acuerdo con la frontera de precios de los factores?

Question

A medida que continúo mi descenso a la locura al investigar la Controversia de Cambridge Capital, he estado dedicando algo de tiempo a examinar ejemplos de reenganche desde la frontera de precios de los factores. Sabiendo que este es un tema un tanto oscuro, he tomado un tiempo para proporcionar algo de contexto antes de hacer mi pregunta.

Antecedentes

Normalmente, cuando se introduce la frontera de precios de los factores en el contexto de la controversia de capital de Cambridge, se muestran tres imágenes, ilustrando tres casos:

(a) El caso de producción con una técnica.
(b) El caso de producción con dos técnicas con cambio.
(c) El caso de producción con dos técnicas con reenganche.

Las curvas de nivel en este espacio corresponden a un costo constante de producción y a qué mezcla de precios de factores preservará un costo constante. En el caso de cambio y reenganche, la frontera está definida por el sobreenvoltorio exterior (como se destaca con la línea punteada verde) con puntos de cambio ocurriendo en $\alpha$ y $\beta$ en sus respectivos gráficos.

Entender estos gráficos con precios de factores al principio fue confuso para mí, específicamente por qué consideraríamos el sobreenvoltorio exterior (¿no deberíamos considerar el sobreenvoltorio interior?). Para facilitar esto, reemplazamos $w$ y $r$ con $MPL$ y $MPK$. dándonos una figura actualizada a continuación:

Esto hace las cosas mucho más claras, ya que ahora tiene sentido elegir la técnica que le proporcionará un mayor producto marginal de trabajo y capital suponiendo que los costos sean los mismos. Además, deja en claro de manera explícita que podemos interpretar cada punto a lo largo de las curvas de nivel como la pendiente de nuestra Isoquanta para una función de producción subyacente1. esto funciona bien con curvas de nivel de tipo Cobb Douglas.

Pregunta principal

Entiendo cómo podemos tener una frontera de precios de factores lineal y el caso de cambio. ¿Qué tecnología debemos tener para que ocurra el reenganche, ya que implica que la pendiente de nuestras isoquantas cambia de manera cóncava?

_{1. La matemática de esto es: <span class="math-container">$\frac{1}{MRTS}=\frac{1}{-\frac{\frac{\partial F}{\partial L}}{\frac{\partial F}{\partial K}}}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial K}}{\frac{\partial F}{\partial L}}=-\frac{r}{w}$</span>}

Answer 1

Los tipos de procesos de producción considerados en las Controversias de Capital de Cambridge son aquellos que son dinámicos.

Esto significa que la producción no se lleva a cabo en un solo período, sino en varios períodos.

Con esta estructura, los costos para un proceso de producción en particular no se pagan todos al mismo tiempo, sino en diferentes momentos en el tiempo. (es decir, cuando se paga a los trabajadores no es al mismo tiempo que se paga por la maquinaria).

Una función de costos que genera una frontera de precios de factores cóncava (suponiendo $L=1$ y $K=1$) es: $$w+(1+r)^2=\bar{C}$$

Si pensamos en esto en términos de tiempo, tenemos:

• En el primer período, a los trabajadores se les paga su salario $w$.
• En el segundo período, el propietario del capital recibe $(1+r)^2$.

Una frontera de precios de factores cóncava puede surgir cuando existen intereses y tiempos asociados con los pagos.

En los modelos económicos tradicionales en los que las funciones de producción realizan toda la producción en un solo período, solo veremos fronteras de precios de factores lineales. Sin embargo, si nuestro proceso de producción es dinámico (es decir, donde el capital no se paga en el primer período sino más tarde), entonces la frontera de precios de factores será cóncava.

TLDR: La forma de tu frontera de precios de factores depende de si tus costos se pagan en un solo período o en varios períodos. Si la producción se realiza en un solo período y se paga en un solo período, entonces tu frontera de precios de factores será lineal, de lo contrario será no lineal/cóncava.