Juego de subasta de información incompleta con estrategias de corte

Question

He intentado resolver una pregunta del libro "Estrategia" de Watson y mi respuesta no coincide con las soluciones proporcionadas en línea. No puedo entender por qué. Por favor ayuda.

La pregunta: Considera un juego de póquer de oferta simultánea simple. Primero, la naturaleza selecciona los números x1 y x2. Supongamos que estos números se distribuyen de manera independiente y uniforme entre 0 y 1. El Jugador 1 observa x1 y el Jugador 2 observa x2, pero ninguno de los dos jugadores observa el número asignado al otro jugador. De manera simultánea e independiente, los jugadores eligen entre pasar o apostar. Si ambos jugadores pasan, entonces ambos reciben una recompensa de 1. Si solo un jugador pasa, entonces obtiene 1 mientras que el otro jugador recibe 1. Si ambos jugadores eligen apostar, entonces cada jugador recibe 2 si su número es al menos tan grande como el del otro jugador; de lo contrario, recibe 2. Calcula el equilibrio de Nash bayesiano de este juego. (Pista: busca un equilibrio simétrico en el cual un jugador apuesta solo si su número es mayor que una constante a. Tu análisis revelará el valor de equilibrio de a.)

Mi solución:

He asumido que el Jugador 2 apuesta solo si $x_2>\alpha_2$. Ahora, el Jugador 1 apuesta solo si su utilidad al apostar, dado su tipo, es mayor que su utilidad al pasar. Es decir, el Jugador 1 apuesta si y solo si $u_1(B|x_1)>-1$ $\implies P[x_2>\alpha_2]P[x_2>x_1](-2)+P[x_2>\alpha_2]P[x_2-1$

$\implies (1-\alpha_2)(1-x_1)(-2)+(1-\alpha_2)(x_1)(2)+\alpha_2>-1$

$\implies 4x_1-4\alpha_2x_1+3\alpha_2-1>0$

P1 apuesta si $4x_1(1-\alpha_2)+3\alpha_2 -1>0$

como $\alpha_2\in[0,1]$ P1 definitivamente apostará si $\alpha_2>\frac{1}{3}$ y estará indiferente entre A o P si $\alpha_2=1/3$ y $x_1>0$. Si $\alpha_2<\frac{1}{3}$ entonces P1 apuesta si $x_1>\frac{1-3\alpha_2}{4(1-\alpha_2)}$.

¿Alguien puede decirme si mi respuesta (hasta este punto) es correcta? Difiere de la solución disponible en línea.

Solución disponible en línea Si $\alpha_2>1/3$ entonces el Jugador 1 apuesta. Si $\alpha_2<1/3$ P1 apuesta si $x_1>(1+\alpha_2)/4$

Answer 1

Dado que $X_1,X_2\sim\text{Unif}(0,1)$ y están distribuidos de forma independiente. Supongamos que la estrategia de oferta del jugador 2 es ofertar solo si y solo si $X_2$ es mayor que $a$.

El jugador 1 después de observar $X_1=x_1$ ofertará si y solo si

$2\Pr(X_2\leq x_1, X_2>a) -2\Pr(X_2> x_1, X_2>a)+ 1\Pr(X_2\leq a)\geq -1$

Para $x_1\geq a$, la desigualdad anterior es

$2(x_1-a)-2(1-x_1)+a\geq -1$

Para que la estrategia de mejor respuesta del jugador 1 sea ofertar solo si y solo si $X_1$ es mayor que $a$, debe cumplirse que en $x_1=a$,

$2(x_1-a)-2(1-x_1)+a= -1$

Sustituyendo $x_1=a$ en la ecuación anterior, obtenemos el valor de $a$,

$-2(1-a)+a= -1$ nos da

$a = \frac{1}{3}$.

Entonces la estrategia de equilibrio de Nash bayesiano simétrico es ofertar solo si y solo si el número observado es mayor que $\frac{1}{3}$. Ahora podemos verificar rápidamente que este es un equilibrio de Nash bayesiano, supongamos que el jugador 2 va a ofertar solo si y solo si $x_2$ es mayor que $\frac{1}{3}$,

La ganancia esperada del jugador $1$ al ofertar cuando $x_1\geq\frac{1}{3}$ excede a la de retirarse:

$2(x_1-\frac{1}{3})-2(1-x_1)+\frac{1}{3} = 4x_1-\frac{7}{3}\geq -1$.

La ganancia esperada del jugador $1$ al retirarse cuando $x_1<\frac{1}{3}$ excede a la de ofertar:

$-1\geq -2\times\frac{2}{3}+\frac{1}{3}$.

Por simetría, este es un equilibrio de Nash bayesiano.