Si un perfil de estrategia mixta no es Nash, ¿entonces un jugador se desviará a una estrategia pura?

Question

Supongamos que en un perfil de estrategia de un juego de N personas, todos están jugando una estrategia mixta, y no está en Equilibrio de Nash.

¿Esto implica que existe un jugador i que estaría estrictamente mejor al desviarse a alguna estrategia pura?

Answer 1

Supongamos que $(\sigma_1,\sigma_2,\ldots, \sigma_N)$ es un perfil de estrategia mixta que no es un equilibrio de Nash. Por lo tanto, existe un jugador $i\in\{1,2,\ldots,N\}$ tal que $\sigma_i$ no es una mejor respuesta a $\sigma_{-i}$. Dado que $\sigma_i$ no es la mejor respuesta a $\sigma_{-i}$, entonces existe o una estrategia pura $a_i$ del jugador $i$ tal que la utilidad esperada del jugador $i$ satisface $U_i(a_i,\sigma_{-i})>U_i(\sigma_i,\sigma_{-i})$, o existe otra estrategia mixta $\sigma_i'$ del jugador $i$ tal que la utilidad esperada satisface $U_i(\sigma_i',\sigma_{-i})>U_i(\sigma_i,\sigma_{-i})$. En el último caso, cuando existe una estrategia mixta $\sigma_i'$, observamos que $U_i(\sigma_i',\sigma_{-i})$ es el promedio ponderado de la utilidad esperada de las acciones en su soporte. Por lo tanto, debe existir al menos una acción $a_i'$ en el soporte de $\sigma_i'$ tal que $U_i(a_i',\sigma_{-i})\geq U_i(\sigma_i',\sigma_{-i})>U_i(\sigma_i,\sigma_{-i})$. Por lo tanto, hemos demostrado que: Si consideramos un perfil de estrategia mixta de un juego de N-personas que no es un Equilibrio de Nash, entonces existe un jugador $i$ que estará estrictamente mejor al desviarse a alguna estrategia pura.

Answer 2

Veamos un contraejemplo que demuestra que el jugador i que estaría estrictamente mejor al desviarse a alguna estrategia pura generalmente es falso. Vamos a presentar un juego para el cual

1. El perfil de estrategia mixta elegido no es un equilibrio de Nash;
2. Ningún jugador puede mejorar su ganancia al desviarse a una estrategia pura.

Definamos los juegos de dos jugadores A y B, con las siguientes dos estrategias (opciones): "1" y "2". La matriz de ganancias es: Veamos un contraejemplo que muestra que el jugador i-ésimo que estaría estrictamente mejor al desviarse a alguna estrategia pura generalmente es falso.

Definamos los juegos de dos jugadores A y B teniendo las siguientes dos estrategias (opciones): 1 y 2. La matriz de ganancias es

(B: 1)

(B: 2)

(A: 1)

(2, 2)

(1, 3)

(A: 2)

(3, 1)

(0, 0)

Si ambos jugadores juegan las siguientes estrategias mixtas:

• A juega 1 con probabilidad p = 0.5 y 2 con probabilidad 1-p = 0.5

Ganancia para A $ = p \cdot \left(q \cdot 2 + (1-q) \cdot 1\right) + (1-p) \cdot \left(q \cdot 3 + (1-q) \cdot 0\right) = 0.5 \cdot \left(0.5 \cdot 2 + 0.5 \cdot 1\right) + 0.5 \cdot \left(0.5 \cdot 3 + 0.5 \cdot 0\right) = 1.5$

Si A juega una estrategia pura para 1, $p=1$, la Ganancia es = $q \cdot 2 + (1-q) \cdot 1 = 1.5$

Si A juega una estrategia pura para 2, $p=0$, la Ganancia es = $q \cdot 3 + (1-q) \cdot 0 = 1.5$

• B juega 1 con probabilidad q = 0.5 y 2 con probabilidad 1-q = 0.5

Ganancia para B $ = q \cdot \left(p \cdot 2 + (1-p) \cdot 3\right) + (1-q) \cdot \left(p \cdot 1 + (1-p) \cdot 0\right) = 1.5$

Si B juega una estrategia pura para 1, $q=1$, la Ganancia es = $p \cdot 2 + (1-p) \cdot 3 = 1.5$

Si B juega una estrategia pura para 2, $q=0$, la Ganancia es = $p \cdot 1 + (1-p) \cdot 0 = 0.5$

Para ambos jugadores:

• Jugar 1, 2, o la estrategia mixta p = 0.5, q = 0.5 resulta en la misma Ganancia 1.5
• Ningún jugador tiene incentivo para desviarse a una estrategia pura.

El perfil de estrategia mixta p = 0.5, q = 0.5 no es un equilibrio de Nash, ya que los jugadores pueden lograr una mejor ganancia eligiendo diferentes estrategias mixtas. Esto demuestra que la afirmación "un jugador siempre estará estrictamente mejor al desviarse a una estrategia pura" no es cierta en general.