Monotonía de la función de valor con la búsqueda de empleo

Question

Tengo una ecuación de Bellman para un trabajador empleado en un entorno donde se permite la transición de un trabajo a otro. Quiero demostrar que V(w), la función de valor, es estrictamente creciente en w. En la ecuación de Bellman estándar que conozco hay un teorema que dice que si U y la correspondencia de restricciones G son monótonas, entonces V también es monótona. Pero ¿cuál es la correspondencia de restricciones aquí? A continuación está la EB. Puedo ver que w es estrictamente creciente. Pero no sé cómo explicar el segundo requisito.

$V_1()=+\beta(_1(max[{_1(),_1()}]())+[_0]]$

Answer 1

Considere un mapeo de contracción en el espacio de (digamos) todas las funciones continuas acotadas. Sea $A$ el conjunto de funciones continuas acotadas y crecientes: $V \in A$ si para todo $w \le w', V(w) \le V(w')$ y sea $B$ el conjunto de todas las funciones continuas acotadas y estrictamente crecientes: $V \in B$ si para todo $w < w', V(w) < V(w')$. Note que el conjunto $A$ es cerrado: una secuencia convergente de funciones continuas crecientes, acotadas y continuas converge a una función continua creciente y acotada (aquí la convergencia es en la métrica sup). También note que $B \subseteq A$. Note que $B$ no es cerrado.

Se cumple lo siguiente:

Lema Si para todo $V \in A$, $TV \in B$ entonces el punto fijo de $T$ estará en $B$.

Prueba: Dado que $T$ es un mapeo de contracción, el punto fijo puede encontrarse tomando cualquier función acotada y continua $V$ y generando la secuencia $T V, T^2 V, T^3 V, \ldots$ Por el teorema del mapeo de contracción, esta secuencia converge (en la métrica sup) al único punto fijo de $T$, es decir, la función $V^\ast$ con $TV^\ast = V^\ast$.

Ahora, comience con cualquier $V \in A$, entonces $T V \in B \subseteq A$, $T^2 V \in B \subseteq A$ y así sucesivamente. Por lo tanto, cada elemento en la secuencia $V, TV, T^2 V, \ldots$ pertenece a $A$ y como $A$ es cerrado, el límite, digamos $V^\ast$ (que es el punto fijo) también estará en $A$. Pero entonces $V^\ast = TV^\ast \in B$.

El operador de Bellman está dado por: $$ T V(w) = w + \beta\left(\lambda_1(\int \max[V(w), V(\tilde x)] d F(\tilde x)) + \delta[V_0]\right). $$ Suponga que ya ha demostrado que $T$ es un mapeo de contracción en (por ejemplo) el conjunto de funciones continuas y acotadas de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$).

Sea $V$ una función creciente $V$, es decir, $w \le w'$ implica $V(w) \le V(w')$. Necesitamos mostrar que $TV$ es estrictamente creciente: si $w < w'$, entonces $TV(w) < TV(w')$.

Tenemos, $$ \begin{align*} TV(w) &= \underbrace{w}_{< w'} + \beta\left(\lambda_1 (\int\max[\underbrace{V(w)}_{\le V(w')}, V(\tilde x)] dF(\tilde x)) + \delta [V_0]\right),\\ &< w' + \beta\left(\lambda_1 (\int\max[V(w'), V(\tilde x)] dF(\tilde x)) + \delta [V_0]\right),\\ &= TV(w') \end{align*} $$