Análisis contrafactual en SVAR

Question

El análisis contrafáctico se utiliza cuando queremos comparar la FIR real con la FIR del escenario contrafáctico. Por ejemplo, si desea examinar la respuesta de la inflación a los choques de precios del petróleo simplemente ignorando los efectos de segunda ronda, puede utilizar la FIR contrafáctica (sin efectos de segunda ronda) para compararla con la FIR base (con efectos de segunda ronda) en el modelo SVAR.
La FIR contrafáctica se produce a partir de la FIR base en SVAR utilizando restricciones adicionales. Esta metodología ha sido utilizada por Bernanke et al (1997), Sims y Zha (2006), Kilian y Lewis (2011), etc. En este caso, me referí principalmente a Wong(2015).

Considere el siguiente modelo VAR.
$A_0 y_t =\sum_{i=1}^{p} A_i y_{t-i} +\epsilon_t $
donde $y_t =[oil_t, \pi^e_t, \pi_t ]$ y $\epsilon_t$ es un vector de choque estructural ortogonal.

Defina la ecuación anterior en forma de compañero.
$A_0 y_t =\sum_{i=1}^{p} A_i y_{t-i} +\epsilon_t $
$y_t =\sum_{i=1}^{p} A^{-1}_0A_i y_{t-i} +A^{-1}_0\epsilon_t $
$X_t =\Lambda X_{t-1}+v_t$

Sea $E(v_t' v_t)=\Omega$, $\tilde{A_0^{-1}}=chol(\Omega)$ y $e_j$ un vector fila con 1 como el elemento $j$ y 0 en los demás lugares.
Entonces la función de respuesta de impulso de la variable $j$ a un shock de petróleo del $10\%$ en el horizonte $k$, $\Psi_j^k$ es
$\Psi_j^k=e_j \Lambda^k \xi$
donde $\xi=\frac{0.1 \times \tilde{A_0^{-1}}e_1' }{e_1 \tilde{A_0^{-1}} e_1'}$

Normalmente, la respuesta de la variable $j$ al shock $i$ en el horizonte $k$ es $ \Lambda^k_{i,j} $
así que $\Lambda^k_{j,i}=e_j\Lambda^k e_i'$
Aquí no entiendo por qué usamos $\xi$ y el significado de su numerador y denominador.

[Nota] La diferencia entre $\tilde{A_0^{-1}}$ y $A_0^{-1}$ es solo la normalización. $A_0^{-1}$ se normaliza para tener 1 en su diagonal.

Answer 1

$\epsilon_t$ aquí es el shock estructural. $\nu_t$ son los residuos en forma reducida. $A_0^{-1}$ es una matriz de rotación que proporciona el mapeo entre los shocks estructurales y los residuos en forma reducida. $\tilde A_0^{-1}$ es básicamente lo mismo, pero normalizando las varianzas de los shocks estructurales a 1. En el artículo, estamos interesados en las IRFs a un shock estructural, lo que implica que necesitamos identificar el vector $\nu_t$ correspondiente al shock de interés. Generalmente, para un shock de una desviación estándar eso sería algo como $\tilde A_0^{-1} e_1'$, porque, hablando en términos generales, $\tilde A_0^{-1}$ tiene la desviación estándar de los shocks en la diagonal y $e_1$ es un shock unitario. Sin embargo, estamos interesados en un shock de 0.1 unidades en lugar de uno de una desviación estándar. Ahí es donde entra en juego la $\xi$. El numerador utiliza 0.1 veces un shock de una desviación estándar, mientras que el denominador divide esto por la desviación estándar. El resultado es un shock de 0.1 unidades al primer shock estructural.