Pricing de Swap de Divisas Cruzadas bajo la medida T- forward

Question

Supongamos que estamos en un mercado sin fricciones donde se cumple exactamente la paridad de tasas de interés cubiertas es decir

\begin{align} F^X(0,T) &=X_0 \frac{P^f(0,T)}{P^d(0,T)} \end{align}

donde $X_0$ es el spot de FX, $P^f(0,T)$ y $P^d(0,T)$ el valor presente de un bono cero cupón extranjero y doméstico respectivamente.

Supongamos que queremos valorar un único pago de cupón Libor $L_f(S,T)$ en $T$ de la pata extranjera de un swap XCCY reportado en la divisa doméstica.

Una forma de hacerlo es:

\begin{align*} PV_d = X_0 P^f(0,T)E_f^T( L_f(S,T)\mid \mathcal{F}_t) &= X_0 P^f(0,T)F_f(0,S,T) \end{align*}

es decir, realizamos todos los cálculos bajo la medida forward extranjera en $T$ y en $t=0$ convertimos todo a la moneda doméstica utilizando el spot de FX $X_0$

Esto también implica (usando la definición del forward de FX):

\begin{align*} PV_d = F^X(0,T)P^d(0,T)F_f(0,S,T) \tag{1} \end{align*}

¿Se cumple (1)?

La otra forma de calcular el valor presente es básicamente convertir a la moneda doméstica en T y ahora bajo la medida forward doméstica en T tenemos:

\begin{align*} PV_d = P^d(0,T)E_d^T(X_TL_f(S,T)\mid \mathcal{F}_t) \end{align*}

Para llegar a (1) ¿podemos simplemente separar el producto dentro de la esperanza?

es decir $E_d^T(X_T\mid \mathcal{F}_t)E_d^T(L_f(S,T)\mid \mathcal{F}_t)$

Answer 1

• En primer lugar: a menos que tu $t$ sea cero algo parece estar mal porque al usar $P^d(0,T),P^f(0,T)$ estás descontando de vuelta a cero. Por lo tanto, usaré $t=0$ de ahora en adelante.

• Respecto a tu pregunta si (1) se cumple: ¿acaso no acabas de demostrarlo?

• Ahora sobre la pregunta al final del OP:
  Incluso si pudieras dividir el producto dentro de la expectativa $$\tag1 PV_d = P^d(0,T)\,\mathbb E_d^T\big[X_T\,L_f(S,T)\big] $$ obtendrías \begin{align}\tag2 PV_d &= P^d(0,T)\,\underbrace{\mathbb E_d^T\big[X_T\big]}_{F^X(0,T)}\,\mathbb E_d^T\big[L_f(S,T)\big]\\[2mm] &=X_0P^f(0,T)\,\mathbb E_{\color{red}d}^T\big[L_f(S,T)\big]\tag3 \end{align} que tiene una moneda incorrecta en esa expectativa.

• La solución al enigma es que la relación $$\tag4 X_t\,P^f(t,T)\,\mathbb E_f^T[H\mid{\cal F}_t]=P^d(t,T)\,\mathbb E_d^T[X_T\,H\mid{\cal F}_t] $$ no dice más que el PV de un pago extranjero $H$ debe ser el mismo independientemente

  de si se calcula en la medida extranjera y se convierte a $d\,,$ o

  si se convierte en $d$ en $T$ y se calcula en la medida doméstica.

• A partir de (4) de nuevo podrías deducir tu ecuación (1).