Función de Cobb-Douglas e interpretación del máximo

Question

Estoy revisando algunas notas de Edmond y las soluciones del modelo aquí. Supongamos que una empresa paga una tasa $r$ por capital y $w$ por trabajo y su producción está dada por $Y = AK^\alpha L^{1-\alpha}$. Entonces sus ganancias son $$f(K,L) = AK^\alpha L^{1-\alpha} - rK - wL.$$ La pregunta pide al lector maximizar esto mediante diferenciación. Bueno, no hay problema. Pero luego resulta que el máximo, si existe, es cero, porque de hecho $f(K,L)$ es homogéneo en $K$ y $L$, así que si existe un máximo global, $f(K,L)$ debe ser cero ahí. La explicación dada es:

Claramente, esto implica que las ganancias son cero. ¿Es esto absurdo? Escuchamos hablar de ganancias positivas todo el tiempo. Hasta cierto punto, esto es simplemente una cuestión de diferencias en la terminología. Para un economista, el concepto contable conocido como 'ganancias corporativas' es realmente solo un pago a los propietarios de capital y por lo tanto en este ejemplo debería ser tratado como parte de rK. Como recordará de Empresas y Mercados, en economía el término 'ganancia' a menudo se reserva para discutir (digamos) la capacidad de un monopolista para explotar su poder de mercado. Dado que se trata de un mercado perfectamente competitivo, no es sorprendente que las ganancias económicas sean cero.

No acepto en absoluto esta explicación. En la mayoría de los casos, si ingresamos números razonables para $A$, $r$ y $w$, habrá algunos valores de $K$ y $L$ que hacen que $f(K,L)$ sea positivo, así que no creo que $f(K,L)$ tenga un máximo global en absoluto. Pero el resto del conjunto de problemas se basa en el razonamiento sobre cómo se comporta $Y$ en un máximo global, así que estoy confundido acerca de cómo tienen sentido más cálculos.

Además, no entiendo lo que se quiere decir con "este es un mercado perfectamente competitivo". No hay mercado aquí. Simplemente estamos viendo un modelo de una sola empresa que contrata, por ejemplo, a $L$ agricultores por $w$ dólares cada uno y $K$ tractores por $r$ dólares cada uno, y produce $Y(K,L)$ dólares en bienes. Si la ganancia máxima posible es cero, la empresa bien podría no contratar a ningún agricultor ni tractores en absoluto. ¿En qué me estoy equivocando aquí?

Answer 1

Este es un ejemplo de un mercado perfectamente competitivo con rendimientos constantes a escala. La firma representativa en cuestión, por lo tanto, es tomadora de precios tanto en los mercados de productos como en los de insumos. Puedes ver esto arriba por el precio (implícito) del bien de salida siendo 1 y $r$ y $w$ siendo medidos en unidades del bien final. La firma no decide qué precio establecer. En esa configuración, el beneficio de la firma debe ser 0 en el óptimo. El Teorema de Euler prueba que los pagos de factores agotarán completamente la producción si la función de producción presenta rendimientos constantes a escala, es decir, es homogénea de grado 1. Para cualquier otra elección de insumos que no sea contratar trabajo y capital hasta el punto donde su producto marginal sea igual a sus tasas de alquiler, la firma incurrirá en pérdidas.

Si la firma tuviera poder de mercado, obtendría beneficios económicos.

Tienes razón en que la firma es en principio indiferente entre producir y no producir, por lo que el tamaño de la firma es indeterminado. Es por eso que en los modelos macroeconómicos hay que emparejar la configuración anterior con una condición de equilibrio de mercado para capital y trabajo, es decir, todos los factores disponibles en la economía son demandados realmente.

EDICIÓN: Para aclarar en respuesta a la respuesta de shgwani2804, es importante tener en cuenta que la pregunta anterior se refiere a una firma representativa en un modelo macroeconómico de equilibrio general. Por lo tanto, las tasas de alquiler para capital y trabajo no pueden ser valores arbitrarios, sino que necesitan ajustarse para equilibrar los mercados de trabajo y capital. Eso (entre otras cosas) asegura que las tasas de alquiler sean iguales a los productos marginales. En ese caso, los beneficios realmente serán 0. Fuera del equilibrio, es posible que ni siquiera exista un máximo.

Answer 2

Como ya se ha mencionado en los comentarios, la declaración es condicional a la existencia de un máximo.

Concretamente, digamos $\alpha = 0.5, \ A = 3, \ r = 1, \ w = 1$, entonces $f(1,1) = 1$

Si la ganancia es distinta de cero en cualquier $(K,L) \in \mathbb{R}^2_{++}$, entonces la empresa siempre puede aumentar sus ganancias empleando más trabajo y capital (ya que la función de ganancia dada es homogénea de grado 1). Entonces, ¿por qué detenerse en $(1,1)$? Es mejor producir $(2,2)$, e incluso mejor producir $(3,3)$, ad infinitum.

Además, su libro de texto asume implícitamente que el precio de esta mercancía en el mercado es igual a 1. Por supuesto, el precio depende tanto de la demanda como de la oferta. En este caso, si el precio es 1, entonces los mercados pueden no liquidarse - puede no haber una solución al problema de optimización de la empresa (es decir, no existe un máximo), por lo que no hay un nivel finito de producción (y por lo tanto de entrada) para el cual la ganancia esté maximizada. De hecho, el único precio de equilibrio del mercado para la tecnología dada (y una curva de demanda apropiada) es $P = \frac{r+w}{A}$

Su confusión surge de una falta de comprensión de lo que constituye una empresa y un mercado en el sentido económico. La terminología empresarial y contable tradicional no se aplica al pensamiento económico en la mayoría de los casos. Un ejemplo clásico de esto sería el hecho de que los modelos económicos no distinguen entre deuda y capital- ambos son tratados simplemente como 'capital', ya que se emplean en la producción de bienes y servicios.

EDITAR: Expandiendo sobre el último párrafo...

No he podido encontrar una buena referencia, pero intentaré darte una idea básica aquí. Una empresa se caracteriza por su tecnología (la función de producción) y su objetivo (típicamente maximizar la ganancia). Estos dos atributos proporcionan una descripción completa de la empresa en este nivel de análisis, de cualquier tipo de empresa - ya sea un negocio familiar pequeño o una corporación multinacional.

El capital se trata como una mercancía abstracta, una entrada, que se puede comprar en un mercado (de ahí el nombre 'mercados de capital'). Eso puede parecer absurdo para un contable, pero para un economista, si has invertido tu propio dinero en tu negocio, has renunciado (como mínimo) a los intereses que podrías haber ganado si hubieras depositado este dinero en un banco. Si estás trabajando a tiempo completo en tu propio negocio, has renunciado al salario que podrías haber ganado en un trabajo. Esta es la noción de costo de oportunidad, y tales costos se contabilizan dentro del costo de capital y trabajo.

Todo esto se deriva de la definición de empresa. Si la empresa no obtiene ganancias en todos los posibles niveles de producción, la empresa no tiene preferencia por no producir nada - de hecho, es indiferente producir cualquier nivel de producción. Este error en el razonamiento proviene de confundir la empresa con su gestión/propietarios. Los costos implícitos de capital, esfuerzo, etc. del emprendedor/propietarios simplemente se incluyen en los costos de producción de una empresa. 0 ganancias para la empresa no significa 0 retorno sobre el capital invertido por los propietarios de capital (ya sea el emprendedor o prestamistas). Eso es un malentendido clásico de lo que representa la ganancia en economía vs. contabilidad.