Modelo apropiado para fijar el precio de una opción de bono europeo, ¿Black o Bachelier?

Question

Supongamos un bono cupón cero con opción incrustada europea con valor nominal $L$, precio de ejercicio $X$, las madureces para la opción incrustada y el bono son $T_o$ y $T_b$, $T_o, respectivamente. Si asumimos que los precios forward de bonos siguen una distribución log-normal, entonces usando el modelo de Black, el precio de la opción de compra en $t$, $t, será \begin{align*} C(t,P_F(T_o,T_o,T_b),X) &= P(t,T_o)\mathbb{E}_{T_o}\left\{\max(P_F(T_o,T_o,T_b) - X,0)\right\}\\ &= P(t,T_o)\left[P_F(t,T_o,T_b)\Phi\left(d_1\right) - X\Phi\left(d_2\right)\right]\\ &= LP(t,T_b)\Phi\left(d_1\right) - P(t,T_o) X\Phi\left(d_2\right) \end{align*} donde $P_F(t,T_o,T_b)$ es el precio forward del bono tal que \begin{equation*} P_F(t,T_o,T_b) = L\frac{P(t,T_b)}{P(t,T_o)} \end{equation*} $\mathbb{E}_{T_o}\{\cdot\}$ denota expectativa en un mundo que es neutral al riesgo forward con respecto a $P(t,T_o)$ tal que \begin{equation*} \mathbb{E}_{T_o}\{P_F(T_o,T_o,T_b)\} = P_F(t,T_o,T_b) \end{equation*}

Actualmente estoy leyendo el libro de Howard Corb "Interest Rate Swaps and other Derivatives", en el Capítulo 5.3.1 en la página 181, se discute que

1. la distribución lognormal es más apropiada para modelar los precios de las acciones, porque las acciones con precios más altos tienden a tener mayores fluctuaciones de precios.
2. la distribución normal es una buena suposición para la tasa de interés, porque no hay una diferencia significativa en volatilidad entre tasas más altas y tasas más bajas.

Debido a que el precio forward del bono está estrechamente relacionado con la tasa de interés, me pregunto, ¿debería usar el modelo de Bachelier en lugar del modelo de Black para valorar el precio de la opción incrustada en un bono cupón cero?

P.D. El modelo de Bachelier asume que el precio T-forward de un activo en el tiempo $t$, $P_F(t)$ sigue un movimiento browniano aritmético con volatilidad $\sigma_N$, de modo que \begin{equation*} dP_F(t) = \sigma_N dW(t) \end{equation*}

Answer 1

Tenga en cuenta que tenemos el precio del bono cupón cero $$P = e^{-yT_b}$$, por lo que $$lnP = -yT_b$$, donde $y$ es el rendimiento del bono. Así que si cree que el rendimiento sigue una distribución normal, el bono cupón cero está distribuido logarítmicamente. Ahora, como dice @AKDemy, no importa mucho qué modelo use para una opción ATM individual, pero parece que la suposición lognormal puede ser mejor si está fijando precios de opciones en un rango de precios de ejercicio.

Answer 2

En teoría no importa. Puedes usar Black o Bachelier y el precio será el mismo, siempre y cuando las Vols sean apropiadas (ver esta respuesta con capturas de pantalla de Bloomberg).

Dependerá de si utilizas volatilidad de precio o de rendimiento, ya que el rendimiento puede ser negativo, en cuyo caso Black no está definido. Si utilizas volatilidad de precio, Black es perfectamente válido y es lo que por defecto utiliza OVME de Bloomberg. Ese precio también coincidirá con las comillas que obtengas de los creadores de mercado (siempre y cuando obtengas una volatilidad implícita y una comilla de precio).

El principal problema que tendrás es que el mercado es muy ilíquido, y no obtendrás comillas de volatilidad implícita o precios en plataformas de proveedores como Bloomberg. Solo podrás inferir VI a partir de ETFs relacionados con opciones "líquidas".