Cambio de numerario y ajuste a la tasa de crecimiento en términos de la proporción de numerario

Question

Estoy trabajando con un proceso $f$ y considerando cómo se ajusta su deriva al moverse entre diferentes numéraires. Aquí está lo que tengo hasta ahora:

Proceso $f$ con numéraire $g$:

• El proceso $f$ tiene una deriva de $f \cdot \lambda \cdot \sigma_f \, dt$ bajo una medida del mundo real.
• con numéraire $g$, el proceso $d\left(\frac{f}{g}\right)$ tiene una deriva (nuevamente bajo una medida del mundo real): $$ \frac{f}{g} \left( (\sigma_f - \sigma_g)(\lambda - \sigma_g) \right) dt $$

Proceso $f$ con numéraire $h$:

• Cuando se cambia al numéraire $h$, la deriva de $f$ es ahora $f \cdot \lambda^* \cdot \sigma_f \, dt$ (bajo una medida del mundo real).
• con numéraire $h$, el proceso $d\left(\frac{f}{h}\right)$ tiene una deriva (bajo una medida del mundo real): $$ \frac{f}{h} \left( (\sigma_f - \sigma_h)(\lambda^* - \sigma_h) \right) dt $$

Razón entre $h$ y $g$:

• Sé que la dinámica de la razón del numéraire $d\left(\frac{h}{g}\right)$ está dada por: $$ d\left(\frac{h}{g}\right) = \left( \lambda^* \sigma_h - \lambda \sigma_g + \sigma_g^2 - \sigma_h \sigma_g \right) \frac{h}{g} dt + (\sigma_h - \sigma_g) \frac{h}{g} dz $$
• De esto, deduzco que: $$ \sigma_w = (\sigma_h - \sigma_g) $$ donde w = h/g

Pregunta:

También sé que el ajuste a la deriva de $f$ al moverse del numéraire $g$ al numéraire $h$ es $(\lambda^* - \lambda) \sigma_f$.

Pero quiero expresar este cambio en la deriva de f en términos de la volatilidad de la razón del numéraire: $$ \alpha_f = \sigma_w \cdot \sigma_f $$

¿Cómo puedo demostrar este resultado?

Nota adicional: Luego puedo mostrar que este resultado es igual a la covarianza instantánea de w y f.

Answer 1

En primer lugar, independientemente de lo que sean $f$ y $g$, tenemos (integración por partes) $$\tag1 d\left(\frac fg\right)=\frac {df}{g}+f\,\,d\left(\frac 1g\right)+d\left\langle f,\frac 1g \right\rangle_t\,. $$ Si estos procesos son de la forma $$\tag2 df=\mu_f\,dt+\sigma_f\,dW^f_t\,,\quad dg=\mu_g\,dt+\sigma_g\,dW^g_t $$ entonces (por Ito) $$\tag3 d\left(\frac 1g\right)=-\frac{dg}{g^2}+\frac{d\langle g\rangle_t}{g^3} =-\frac{\mu_g\,dt+\sigma_g\,dW^g_t}{g^2}+\frac{\sigma_g^2\,dt}{g^3}\,. $$ ¿Puedes encontrar el drift de $\dfrac fg\,?$

Pista: el drift de $\frac fg$ se obtiene al sustituir las expresiones (2) y (3) en (1):

\begin{align}\tag6 d\left(\frac fg\right)=\frac{\mu_f\,dt+\sigma_f\,dW^f_t}g-f\frac{\mu_g\,dt+\sigma_g\,dW^g_t}{g^2}+f\frac{\sigma^2_g\,dt}{g^3}-\frac {\sigma_f\,\sigma_g}{g^2}\,d\langle W^f,W^g\rangle_t\,. \end{align} Si $W^f$ y $W^g$ están correlacionados con $\rho$, el drift se convierte en $$\tag5 \left\{ \frac{\mu_f}g-f\frac{\mu_g}{g^2}+f\frac{\sigma_g^2}{g^3}-\frac{\sigma_f\,\sigma_g\,\rho}{g^2}\right\}\,. $$

• Incluso si asumo $\rho=1$ y $\mu_f=f\lambda\sigma_f$ (como haces tú), no puedo relacionar tu afirmación de que el drift de $d\left(\dfrac fg\right)$ es $$\tag6 \frac{f}{g} \left( (\sigma_f - \sigma_g)(\lambda - \sigma_g) \right)\,dt\,. $$

• ¿Qué asumes sobre $\mu_g\,?$ Da todas tus definiciones y haz algo de trabajo.