Condiciones sobre la dotación para hacer del núcleo un conjunto unitario

Question

Me han pedido que establezca y demuestre las condiciones sobre dotaciones para garantizar que el núcleo sea un conjunto unitario.

Afirmo que si la dotación en sí misma es Óptima de Pareto entonces el núcleo sería un conjunto unitario que consiste en la propia dotación, sin embargo, me resulta difícil probar mi afirmación. (Esta idea podría estar completamente equivocada, pero hasta ahora es lo que tengo)

$ \text{Afirmación: si la dotación } \textit{e} \text{ es OP entonces } \mathbb{C} = \{e\}\\ \text{Demostración:} \\ \text{Sea el punto de dotación $e \in \mathbb{C} \Rightarrow e$ es Óptimo de Pareto y} \color{red}{ \text{ e es Pareto Superior a sí mismo. }} \\ \text{Sea $x$ una asignación tal que $x \neq e$ y $x \in \mathbb{C}$}\\ \text{$\Rightarrow x$ es Óptimo de Pareto y $x$ es Pareto Superior a la dotación $e$}\\ \text{Pero dado que se asume que $e$ es Óptimo de Pareto no puede existir ninguna asignación que sea Pareto Superior a e.}\\ \text{Y por lo tanto llegamos a una contradicción} $

Mi demostración no funciona porque ¿cómo puede $e$ ser Pareto Superior a sí mismo? Además, mi demostración parte del hecho de que $e$ está en el núcleo, pero necesito demostrar que si $e$ es OP entonces $e$ estará en el núcleo. ¿Cómo debo proceder? Gracias.

Answer 1

Considera el siguiente ejemplo de una economía de intercambio puro con dos consumidores y dos bienes:

• Funciones de utilidad: $u_1(x_1,y_1)=x_1+y_1$, $u_2(x_2,y_2)=x_2+y_2$
• Dotaciones: $\omega_1=(2,0)$, $\omega_2=(0,2)$

El conjunto de asignaciones factibles es

$\mathcal{F}=\{((x_1,y_1),(x_2,y_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+|x_1+x_2=2 \ \wedge \ y_1+y_2=2\}$

Observa que el conjunto de asignaciones eficientes de Pareto es igual al conjunto de asignaciones factibles:

$\mathcal{PE}=\mathcal{F}$

Por lo tanto, la dotación es eficiente de Pareto. Pero el núcleo consiste en todas las asignaciones en la diagonal de la caja de Edgeworth que satisfacen $x_1+y_1=2$. Así, el núcleo es igual a

$\mathcal{C}=\{((x_1,y_1),(x_2,y_2))\in\mathcal{F}|x_1+y_1=2\}$

y no es un conjunto unitario.

Por lo tanto, no se puede demostrar que si la dotación es óptima en Pareto, entonces el núcleo es un conjunto unitario.

Sugiero que intentes demostrar la siguiente proposición:

En una economía de intercambio puro de 2 consumidores, si la asignación inicial es óptima en Pareto y todas las funciones de utilidad son estrictamente cuasi-cóncavas (o las preferencias son estrictamente convexas) entonces el núcleo es un conjunto unitario y consiste en la asignación inicial