Estoy replicando las derivaciones del artículo Política ambiental, finanzas públicas y el mercado laboral en un mundo de segundo mejor (Bovenberg & van der Ploeg, Journal of Public Economics, 1994), pero estoy teniendo dificultades con un paso clave.
En primer lugar, algo de contexto. En esta sección del artículo, el gobierno está tratando de recaudar un determinado ingreso de la manera menos distorsionante posible mediante la imposición de impuestos sobre un bien $D$ y sobre el trabajo $L$. La economía se completa con un tercer bien $C$ (Así, para referencia, la restricción presupuestaria de los individuos se da por $P_C C + P_D D = P_L L$). En esta sección, no se consideran externalidades ambientales del consumo de $D$, por lo que este es el clásico problema de impuestos "Ramsey". Esto es con lo que estoy luchando:
Los autores muestran que la expresión para el impuesto óptimo sobre $D$ es:
$\qquad \frac{t_D}{1 + t_D} = \left( \frac{\epsilon_{LL} - \epsilon_{DL}}{\epsilon_{LD} - \epsilon_{DD}} \right) \theta_L $
Luego la reescriben a:
$\qquad \frac{t_D}{1 + t_D} = \left( \frac{\epsilon_{CL} - \epsilon_{DL}}{\epsilon_{CD} - \epsilon_{DD}} \right) \theta_L $
Justificando el paso diciendo:
Dado que las funciones de demanda compensada dependen solo de los precios relativos, $\epsilon_{iL} = - (\epsilon_{iC} + \epsilon_{iD}), i=D,L$ debe cumplirse. Por lo tanto, utilizando la simetría de Slutsky (es decir, $\epsilon_{LD} = - \alpha_D\epsilon_{DL}$ y $\epsilon_{LC} = - (1-\alpha_D)\epsilon_{CL}$), podemos escribir [la primera ecuación como la segunda].
Para dar más información:
- $\epsilon_{AB}$: elasticidad compensada del bien $A$ con respecto a $P_B$, definida como $P_B S_{AB}/A$, donde S es la matriz Slutsky de derivadas de la demanda Hicksiana con respecto al precio.
- $\alpha_D$: participación del presupuesto privado del bien $D$, igual a $P_DD/P_LL$.
Creo que la primera ecuación en la cita se deriva de la aplicación del teorema de Euler (la demanda Hicksiana es homogénea de grado 0, la suma de esas elasticidades debe ser 0, pero ¿por qué no se considera $C$?). También entendí la simetría de la matriz de Slutsky.
En este punto, parece ser un problema algebraico; estoy teniendo dificultades para entender qué variables sustituir y cómo aplicar los resultados económicos discutidos anteriormente. ¿Podría alguien ayudarme a través de los pasos algebraicos entre estas transformaciones? ¡Gracias de antemano!
