Proceso de Markov de dos estados en tiempo continuo

Question

$\lambda_t$ es binaria con $\lambda_H$ y $\lambda_L$, con probabilidades de transición instantánea de $\mu_H$ y $\mu_L$.

¿Cuál es $\mathbb{E}_t[\lambda_T]$, asumiendo que $\lambda_t=\lambda_H$ o $\lambda_t=\lambda_L$?

Answer 1

Esta es una cadena de Markov en tiempo continuo con matriz de tasas $$Q=\begin{pmatrix} -\mu_H & \mu_H\\ \mu_L & -\mu_L \end{pmatrix}.$$ La matriz de transición asociada con el paso de tiempo $t$ a tiempo $T$ es entonces (utilizando WolframAlpha) $$P(t,T) = \exp((T-t)Q)=\frac{1}{\mu_H+\mu_L}\begin{pmatrix} \mu_He^{-(T-t)(\mu_H+\mu_L)} + \mu_L & \mu_H(1-e^{-(T-t)(\mu_H+\mu_L)})\\ \mu_L(1-e^{-(T-t)(\mu_H+\mu_L)}) & \mu_H + \mu_Le^{-(T-t)(\mu_H+\mu_L)} \end{pmatrix}.$$ La fila superior de esta matriz da la distribución de $\lambda_T$ dado $\lambda_t=\lambda_H$. La fila inferior de esta matriz da la distribución de $\lambda_T$ dado $\lambda_t=\lambda_L$. Puede verse que es la matriz identidad cuando $t=T$, y a medida que $T\to \infty$ converge a la distribución estacionaria dada por nbbo2 en los comentarios de tu pregunta.