Opción de bono sobre precio frente a opción de bono sobre rendimiento

Question

Deje que la opción del bono pague $(K_P-P_T)^{+}$ al vencimiento $T$, donde $K_P$ es el precio de ejercicio del bono y $P_T$ es el precio del bono al vencimiento de la opción. Supongamos también que se dan primas cotizadas para esta opción hoy para diferentes valores del precio de ejercicio.

Me gustaría fijarle precio a una opción sobre el rendimiento en lugar del precio. Esta opción paga $(K_y - y_T)^{+}$, donde $K_y$ es el precio de ejercicio en términos de rendimiento y $y_T$ es el rendimiento del bono al vencimiento de la opción.

Me gustaría asumir que el rendimiento es normal y usar a Bachelier para fijarle precio a esta opción. Mi pregunta es, ¿cómo se traduce la prima resultante de una opción sobre el precio del bono en la prima de una opción sobre el rendimiento?

Answer 1

Creo que debería ser posible usar un polinomio de Taylor aquí:

Escribimos $f(B_T) = y(K)-y(B_T)$, donde $y$ denota la función (decreciente) que convierte los precios de los bonos en rendimientos.

Luego $f(B_T) = f(K) + f'(K)\cdot(B_T-K)+\int_K^{B_T} f''(t)\cdot(B_T-t) dt$ y $f(B_T) = f'(K)\cdot(B_T-K)^{+}+\int_K^\infty f''(x)\cdot(B_T-x)^{+}dx$ para $B_T>K$ (nota que $f(K)=0$).

Por lo tanto, el pago $[y(K)y(B_T)]^{+}$ puede escribirse como $-y'(K)\cdot[B_T-K]^{+}-\int_K^\infty y''(x)\cdot(B_T-x)^{+}dx$.