¿La preferencia débilmente monótona y la preferencia estrictamente monótona son lo mismo?

Question

Recientemente estoy revisando la teoría de preferencias y encontré que estoy confundido acerca de la diferencia entre preferencia débilmente monótona y preferencia estrictamente monótona.

Ahora, supongamos que $X$ es el conjunto de consumo. Si mi entendimiento es correcto, entonces:

• Se dice que la preferencia es débilmente monótona si para $x,y \in X$, $y \gg x$ implica $y \succ x$.

• Se dice que la preferencia es estrictamente monótona si para $x,y \in X$, $y \geq x$ implica $y \succeq x$, y $y \gg x$ implica $y \succ x$.

Entonces parece que la preferencia débilmente monótona no dice nada cuando $y \geq x$ pero no $y \gg x$ (por ejemplo, $y=(1,1,2)$ y $x=(1,1,1)$)? ¿Quizás podemos tener $y \prec x$ si la preferencia es débilmente monótona?

Answer 1

Estás en el camino correcto para entender la diferencia entre las preferencias débilmente monótonas y estrictamente monótonas.

1. Preferencias Débilmente Monótonas: Las preferencias son débilmente monótonas si para cualquier par de combinaciones de consumo x e y, si y es estrictamente mayor que x (lo que significa que cada elemento en y es estrictamente mayor que el elemento correspondiente en x), entonces y > x (prefieres estrictamente y sobre x).

Lo que no garantiza: Las preferencias débilmente monótonas no requieren una preferencia clara entre dos combinaciones si una es solo mayor o igual a la otra, pero no estrictamente mayor (por ejemplo, y >= x, como y = (1,1,2) y x = (1,1,1)). En estos casos, la preferencia podría no estar clara, y es posible bajo preferencias débilmente monótonas que realmente prefieras x sobre y (es decir, y <= x), o seas indiferente. La monotonía débil no nos dice nada sobre este escenario.

2. Preferencias Estrictamente Monótonas: Las preferencias son estrictamente monótonas si: - Para y >= x, al menos prefieres débilmente y sobre x (es decir, y <= x). Esto significa que si y es mayor o igual a x en todas las dimensiones, no puedes preferir x sobre y, aunque podrías ser indiferente. - Para y estrictamente mayor que x, prefieres estrictamente y sobre x (es decir, y > x).

Diferencia Clave:

Monotonicidad débil: Solo asegura preferencia estricta si y es estrictamente mayor que x. No dice qué sucede cuando y >= x pero no y estrictamente mayor que x, por lo que es posible que y <= x en este caso. Monotonicidad estricta: Siempre asegura que y >= x significa que al menos prefieres débilmente y, y si y es estrictamente mayor que x, prefieres estrictamente y sobre x.

En tu ejemplo, si las preferencias son débilmente monótonas, es posible que y = (1,1,2) sea estrictamente peor que x = (1,1,1), ya que la monotonía débil no proporciona orientación cuando y >= x pero no y estrictamente mayor que x. Sin embargo, en el caso de preferencias estrictamente monótonas, y = (1,1,2) sería al menos débilmente preferido a x = (1,1,1).