¿En qué condiciones una función de utilidad cuasilineal en forma de función mostraría una tasa marginal de sustitución decreciente?

Question

Sea la función de utilidad: $U(x_1,x_2) = x_1 + x_2^\alpha$. La disminución de la MRS requiere que $\frac{dMRS}{dx_1} <0$, sin embargo, al derivar esto el resultado es 0, ya que $MRS = \frac{1}{\alpha x_2^{\alpha -1}}$.

1. ¿Cómo interpretamos este resultado?

2. ¿Se cumple la disminución de la MRS cuando la segunda condición de orden de $x_1$ es 0?

3. $\frac{dMRS}{dx_2} = \frac{1-\alpha}{\alpha x_2^\alpha} > 0$, cuando $\alpha < 1$, ¿es esto suficiente para confirmar la disminución de la MRS?

4. ¿Puede ser $\alpha$ negativo? ¿Tiene sentido en una función de utilidad?

Answer 1

Normalmente, disminuir MRS significa que la MRS disminuye a medida que se avanza a lo largo de la curva de indiferencia en la dirección de $x$. Al calcularlo, se aumenta $x$ pero no se avanza a lo largo de la curva de indiferencia porque no se mantiene constante el nivel de utilidad.

Considere el nivel de utilidad $U$. Entonces la ecuación para la curva de indiferencia con nivel $U$ es: $$ x_1 + x_2^\alpha = U \to x_2 = (U - x_1)^{1/\alpha} $$ (nótese que solo evaluamos el lado derecho sobre $x_1 \le U$ para que $x_2$ no se convierta en negativo).

Entonces, la MRS es: $$ MRS = \left|\frac{dx_2}{dx_1}\right| = \left|-\frac{1}{\alpha}(U - x_1)^{\frac{1 - \alpha}{\alpha}}\right| = \frac{1}{\alpha}(U - x_1)^{\frac{1 - \alpha}{\alpha}}. $$ Ahora, si evalúas esto en $U = x_1 + x_2^\alpha$, de hecho obtendrás que: $$ \left|\frac{dx_2}{dx_1}\right|_{U = x_1 + x_2^\alpha} = \frac{1}{\alpha x_2^{\alpha - 1}}. $$ Sin embargo, el cambio en la MRS debido a un cambio en $x_1$ a lo largo de la curva de indiferencia con valor de utilidad $U$ es: $$ \frac{1}{dx_1}\left|\frac{d x_2}{d x_1}\right| = -\frac{(1 - \alpha)}{\alpha^2}(U - x_1)^{\frac{1 - 2 \alpha}{\alpha}}. $$ lo cual es negativo para $\alpha < 1$ (nótese que $x_1 \le U$).