¿Por qué un préstamo amortizado es un problema de anualidad?

Question

Actualmente estoy aprendiendo sobre préstamos amortizados y mi libro de texto lo modela como un problema de anualidades. Por ejemplo, suponiendo que alguien toma un préstamo de $25,000, con una tasa de interés del 8% a ser pagado durante seis períodos, el libro calcula el PMT como $25,000/((1-(1/1.08^6))/0.08) = $5,407.88 utilizando la fórmula para el valor presente de una anualidad.

Estoy desconcertado. Hasta ahora, sólo he encontrado problemas de anualidades que se reducen a alguien depositando o retirando x cantidad de dinero en una cuenta de interés a intervalos regulares. En el caso de los depósitos, el x recién depositado gana interés en la cuenta, mientras que en el caso de los retiros, el dinero retirado podría haber ganado interés si no se hubiera retirado, por lo que el valor futuro de x es mayor para reflejar la pérdida de oportunidad.

Sin embargo, con un préstamo, ¿no es lo que está sucediendo, verdad? Digamos que haces un pago de x después del primer año y te quedan y años más por delante. En un problema de anualidades, la suposición es que x gana (o podría ganar) interés, y por lo tanto su valor futuro después de y años es x(1+r)^y, donde r es la tasa de interés de la inversión.

Sin embargo, con un préstamo, x es la cantidad que se devuelve y por lo tanto no genera intereses para el prestamista. ¿Estamos asumiendo que el prestamista toma los pagos y los invierte en otro lugar, y por lo tanto genera intereses? Entonces eso sería un típico problema de anualidades de depósito para el prestamista, pero necesitaríamos utilizar una tasa de interés diferente, ¿no es así?

Debo estar entendiendo algo mal. Cualquier orientación sería muy apreciada.

Answer 1

Si haces un pago de x cada año, entonces la tercera vez que pagas x, estás devolviendo x que pediste prestado por tres años (asumiendo que los pagos son al final del año). Por lo tanto, ese pedazo del préstamo representa x/(1+r)^3 del monto inicial del préstamo. Es decir, si el préstamo hubiera consistido completamente en un préstamo de P y solo un pago de x después de tres años, entonces podemos calcular que P es x/(1+r)^3.

Por ejemplo, si solicitas un préstamo de $25,000 con una tasa de interés del 8% y pagas$5,407.88 después de tres años, entonces eso representa $5,407.88/(1.08^4) =$3,974.95, y queda $21025.05 restantes. Es decir, puedes pensar en esto como dos préstamos, uno por un monto inicial de$3,974.95 que se paga en un pago de $5,407.88 después de tres años, y$21025.05 que se devuelve con los otros cinco pagos.

Entonces lo que puedes hacer es tomar los $25,000 y tratarlo como seis préstamos, cada uno de un pago de PMT. Luego podemos relacionar PMT con el monto de$25,000: $25,000 = PMT/(1+r)+PMT/(1+r)^2+... Luego podemos usar la fórmula de una serie geométrica para resolver PMT en términos de$25,000 y 0.08.

Esta fórmula para una serie geométrica se aplica en cualquier momento en que estemos sumando un montón de términos donde cada uno es alguna cantidad constante multiplicada por el anterior. Ese es el caso de las anualidades, hipotecas y muchas otras situaciones.

Answer 2

Una forma de pensarlo es igualar el valor presente neto (VPN) del préstamo con el valor presente neto de los pagos (d), es decir

El primer pago ocurre después de un período. Digamos que el VPN del primer pago es de $5007.30. La tasa de interés del préstamo es del 8% por lo que la cantidad que deberá pagarse para cubrir este interés es $5007.30*(1 + 0.08) = $5407.88.

De igual manera, el último pago ocurre después de 6 períodos. Si su VPN es de $3407.88 añadiendo el interés del préstamo requerirá un pago de $3407.88*(1 + 0.08)^6 = $5407.88.

Número de pago    VPN        d
    1         5007.30    5407.88
    2         4636.39    5407.88
    3         4292.95    5407.88
    4         3974.96    5407.88
    5         3680.52    5407.88
    6         3407.88    5407.88
             --------   --------
  Totales    25000.00   32447.28

resultando en un interés total de $32447.28 - $25000 = $7447.28.

Al aplicar la fórmula del préstamo, los VPN de los flujos de efectivo no necesitan ser conocidos. Se incluyen en el cálculo como flujos de efectivo descontados: es decir d/(1 + r)^k para k = 1, 2, 3, ... etc.

La fórmula del préstamo se puede derivar de la suma de los flujos de efectivo descontados por inducción:

donde

  s = principal
  r = tasa periódica
  n = número de pagos
  d = cantidad de pago

  s = (d - d (r + 1)^-n)/r
 d = r s/(1 - (1 + r)^-n)

Entonces con

r = 0.08
s = $25000
n = 6

d = r s/(1 - (1 + r)^-n) = $5407.88

Ver también aquí: Calculando el Valor Presente de una Anualidad Ordinaria

Answer 3

En la forma más simple, un préstamo y una renta vitalicia son lo mismo.

Cuando obtienes un préstamo de un banco: te dan una cantidad de dinero y luego la devuelves con intereses. Una vez que el saldo llega a cero, has terminado. Si mueres, ellos todavía quieren su dinero.

Cuando compras una renta vitalicia, le das al banco una cantidad de dinero y luego te dan un pago mensual hasta que mueras. El tamaño del pago mensual depende de las tasas de interés.

Hay adiciones opcionales que pueden hacer que sean a plazo en lugar de vitalicias, o permitir que el dinero vaya a un sobreviviente. Estas opciones impactan en el tamaño del pago mensual. Incluso puedes comprar un seguro vinculado al saldo del préstamo.