Maximizar Utilidad Arbitraria Sujeta a Restricción Presupuestaria

Question

Supongamos que tenemos un problema general de maximización de la forma:

$$\max_{q_1,q_2} U(q_1,q_2) \text{ sujeto a } p_1 q_1 + p_2 q_2 = y$$

Supongamos que permito que $U$ sea cóncava, creciente e invertible. ¿Cómo se ve la solución? Debe ser algo en términos de la función invertida $U$, supongo, pero no puedo obtener la expresión sin una forma funcional específica.

Sé que en general obtienes algo como $$ MRS = p_j / p_k $$ pero estoy buscando una caracterización en términos de algo como $$ q_1 = g\Big(y,p_1,p_2\Big) $$

Answer 1

No sé qué significa la invertibilidad de $U$ dado que $U$ es una función de dos variables con valores reales.

Sin embargo, lo siguiente es cierto:

• Si $U$ es continua, entonces el teorema de valor extremo de Berge nos dice que existe una solución. Esta solución puede ser una correspondencia de $(p,y)$ (multivaluada) pero será upper-hemicontinua.
• Si además $U$ es estrictamente cóncava, entonces para cualquier $(p,y)$ la solución debe ser única. Para ver esto, asumamos que la solución óptima no es única. Luego tomemos dos de ellas. Por estricta (cuasi) concavidad, la combinación convexa de estos dos paquetes da una utilidad estrictamente mayor. Dado que el presupuesto es lineal, también es factible. Pero esto contradice la optimalidad de los dos paquetes iniciales.
• Por lo tanto, si $U$ es continua y estrictamente (cuasi)-cóncava, se pueden escribir $q_1(y, p_1, p_2)$ y $q_2(y,p_1, p_2)$ como las funciones de demanda únicas. A partir de la upper-hemicontinuidad en el primer punto, se deduce que ambas serán continuas.

En general, no es posible obtener una expresión para $q_1$ y $q_2$ sin imponer una forma funcional en $U$.

Answer 2

Bueno, ya tienes una respuesta en tu pregunta. Sin ninguna forma funcional específica para la utilidad, la solución general es;

$$q_i^*=q_i(p_1,p_2,y), \quad \text{para } i=1,2$$

Donde $q_i$ son elegidos de manera que se satisfagan las siguientes condiciones y la restricción presupuestaria;

$$\frac{\partial U}{\partial q_i}-p_i \lambda = 0$$