Comprendiendo aproximaciones de segundo orden en funciones de producción Translog

Question

Considere un modelo con la siguiente tecnología de producción: \begin{equation} Q_i=F(\Omega_i,K_i,S_i,N_i) = \Omega_i\Big(\nu N_i^\sigma+(1-\nu)(\tau K_i^\rho+(1-\tau)S_i^\rho)^{\frac\sigma\rho}\Big)^{\frac1\sigma} \end{equation} Donde $\Omega_i$ es la productividad física, $K_{i}$ es el capital, $S_i$ las horas de trabajo calificado, y $N_i$, horas de trabajo no calificado.

El procedimiento de estimación de la función de producción, de acuerdo con De Loecker y Warzynski (2012), considera la función de producción registrada de la siguiente manera:

$$q_{i}=f(s_{i},n_{i},k_{i};\gamma)+\omega_{i}+\varepsilon_{i}$$

donde $q_i$ es el valor agregado registrado, $s_{i}$ es el trabajo calificado registrado, $n_{i}$ es el trabajo no calificado registrado, $k_{i}$ es el capital registrado, $\gamma$ recoge todos los coeficientes, y $\omega_{i}$ es la productividad física registrada (TFPQ).

La forma funcional translog para $f()$ es:

$$q_{i}=\gamma_{s}s_{i}+\gamma_{n}n_{i}+\gamma_{k}k_{i}+\sum_{x\in\{s,n,k\}}\gamma_{xx}x_{i}^{2}+\sum_{w\neq x}\sum_{x\in\{s,n,k\}}\gamma_{xw}x_{i}w_{i}+\omega_{i}+\varepsilon_{i}\label{I}\tag{I}$$

Lo cual es equivalente a aproximación de $f()$ por un polinomio de segundo orden en el que se incluyen todos los insumos, insumos al cuadrado, y términos de interacción entre todos los insumos en forma logarítmica.

Los $\gamma's$ se pueden derivar y encontrar fórmulas cerradas. Por ejemplo: \begin{equation}\label{II}\tag{II} \gamma_k=(1-\nu)\tau, \quad \gamma_{n}=\nu, \quad ... También podemos encontrar fórmulas para los otros $\gamma's$.

Entonces, tengo dos preguntas:

1. ¿Cómo podemos mostrar que el lado derecho de la ecuación (\ref{I}) es equivalente a la aproximación de $f()$ por un polinomio de segundo orden?
2. ¿Cómo podemos obtener la expresión para $\gamma_k$ dada en (\ref{II})? De hecho, estoy interesado en encontrar la fórmula para los 9 $\gamma's$, pero para entender la derivación de uno, es suficiente para mí entender y derivar los demás.

No tengo poca experiencia en clases de economía, pero tengo un poco más de experiencia con análisis matemático. Lo que aprendí es que la aproximación de segundo orden está dada por: $$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2.$$ Donde $x= (s,n,k)$ y $x_0= (s_0,n_0,k_0)$

Creo que este sería un buen punto de partida. ¿Podrías ayudarme?

Answer 1

Para abordar tu primera pregunta, vamos a desglosarlo mostrando ambos lados de los términos equivalentes.

Para una función general $ f(s_i, n_i, k_i) $, la expansión de Taylor de segundo orden es:

\begin{align*} f(s_i, n_i, k_i) &\approx f(s_0, n_0, k_0) + \frac{\partial f}{\partial s_i}(s_i - s_0) + \frac{\partial f}{\partial n_i}(n_i - n_0) + \frac{\partial f}{\partial k_i}(k_i - k_0) \\ &+ \frac{1}{2} \left( \frac{\partial^2 f}{\partial s_i^2}(s_i - s_0)^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial n_i^2}(n_i - n_0)^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial k_i^2}(k_i - k_0)^2 \right) \\ &+ \frac{\partial^2 f}{\partial s_i \partial n_i}(s_i - s_0)(n_i - n_0) + \frac{\partial^2 f}{\partial s_i \partial k_i}(s_i - s_0)(k_i - k_0) \\ &+ \frac{\partial^2 f}{\partial n_i \partial k_i}(n_i - n_0)(k_i - k_0) \end{align*}

Luego, la forma funcional translog: \begin{align*} q_{it} = \gamma_s s_i + \gamma_n n_i + \gamma_k k_i + \gamma_{ss} s_i^2 + \gamma_{nn} n_i^2 + \gamma_{kk} k_i^2 + \sum_{x \neq w \in \{s, n, k\}} \gamma_{xw} x_{it} w_{it} + \omega_{it} + \epsilon_{it} \end{align*}

Todo lo que necesitas hacer es comparar los términos. Por ejemplo, el término constante de la expansión de Taylor $f(s_0, n_0, k_0)$ es equivalente al término constante en la función translog que representa la productividad física registrada.

Puedes hacer lo mismo para otros términos también.