Diferencia en el valor: llamada americana y llamada europea - las acciones pagan un dividendo

Question

Para una acción que pague un solo dividendo antes del vencimiento, me gustaría estimar la diferencia en valor entre una opción de compra estadounidense y una opción de compra europea con el mismo vencimiento, precio de ejercicio y activo subyacente.

Se agradecen referencias a literatura que aborde este tema.

---

Método propuesto:
El valor de una opción de compra estadounidense $C_{\textrm{a}}$ es idéntico al valor de una opción de compra europea $C_{\textrm{e}}$ después de la fecha ex-dividendo $t_{\textrm{d}}$, $$C_{\textrm{a}}\left(S,K,T-t_{\textrm{d}}^+\right) = C_{\textrm{e}}\left(S,K,T-t_{\textrm{d}}^+\right) ~.$$

La diferencia en valor entre $C_{\textrm{a}}$ y $C_{\textrm{e}}$ surge de la oportunidad de "capturar" el dividendo.

Aislando este evento distintivo con opciones europeas escritas en el tiempo $t_0$ para el período desde $t_0$ hasta $t_{\textrm{d}}$, la diferencia en valor entre una opción de compra estadounidense y una opción de compra europea para una acción que pague un solo dividendo discreto antes del vencimiento $T$ es atribuible a

$$C_{\textrm{e}}\left(S,K \textrm{e}^{r \left(T-t_{\textrm{d}}\right)},t_{\textrm{d}}^-\right) - C_{\textrm{e}}\left(S - D \textrm{e}^{-r t_{\textrm{d}}}, K \textrm{e}^{r \left(T-t_{\textrm{d}}\right)},t_{\textrm{d}}^+\right) ~.$$

Resultado:

La diferencia en valor entre una opción de compra estadounidense y una opción de compra europea para una acción que paga dividendos se puede estimar utilizando opciones europeas

$$C_{\textrm{a}}\left(S,K,T\right) - C_{\textrm{e}}\left(S,K,T\right) \approx C_{\textrm{e}}\left(S,K \textrm{e}^{r \left(T-t_{\textrm{d}}\right)},t_{\textrm{d}}\right) - C_{\textrm{e}}\left(S - D \textrm{e}^{-r t_{\textrm{d}}}, K \textrm{e}^{r \left(T-t_{\textrm{d}}\right)},t_{\textrm{d}}\right) ~.$$

Answer 1

El trabajo de Whaley "Sobre la valoración de opciones de compra americanas de acciones con dividendos conocidos" muestra que hay un límite $S_{t_d}^*$ en el rango del precio de la acción ex dividendo $S_t$ (donde $S_t:= P_t-D\exp(-r(t_d-t))$ si $t, y$S_t:= P_t$si$t_d\leq t\leq T$, donde$P_t$es el precio de la acción acumulado con dividendos), definido por la ecuación:$$C_E(t_d, S_{t_d}^*;T,K) = S_{t_d}^* + D - K.$$Entonces se ejerce obteniendo$S_{t_d} + D - K$, si$S_{t_d} > S_{t_d}^*$, y se continúa manteniendo, si$S_{t_d} \leq S_{t_d}^*$.

Una vez que tenemos este límite fijo, y dado que tenemos un único dividendo, podemos construir una cartera replicante:

a) una posición larga pagando $(S_T - K)^+$ en $T$,

b) una posición larga pagando $(S_{t_d} - S_{t_d}^*)^+$ en $t_d$, y

c) una posición corta pagando $$\left( C_E(t_d, S_{t_d};T,K) -(S_{t_d}^* + D - K) \right)^+ = \left( C_E(t_d, S_{t_d};T,K) - C_E(t_d, S_{t_d}^*;T,K)\right)^+$$ en $t_d$.

Si $S_{t_d} \leq S_{t_d}^*$, b) y c) desaparecen (debido a la monotonía del precio de la opción de compra en $S$), dejando que a) se pague en $T$, es decir, decidimos mantener.

Si $S_{t_d} > S_{t_d}^*$, los pagos de b) y c) dan $$(S_{t_d} - S_{t_d}^*) + (S_{t_d}^* + D - K) = S_{t_d} + D - K$$ en $t_d$, y $$-(S_T-K)$$ en $T$. El último pago se cancela con el pago de c). Por lo tanto, bajo este escenario, decidimos ejercer.

Estos pagos, con c) siendo una opción compuesta (llamada sobre llamada), tienen un precio en forma cerrada (usa solo cdfs normales y binormales) bajo la dinámica de Black-Scholes, como mostró Whaley.

Entonces, una ecuación paralela a tu ecuación es (para $t):

$$C_A(t, S_{t};T,K) - C_E(t, S_t;T,K)$$ $$= C_E(t, S_t;t_d,S_{t_d}^*) - \exp(-r(t_d-t))\mathbb{E}_t\left[ \left( C_E(t_d, S_{t_d};T,K) -(S_{t_d}^* + D - K) \right)^+ \right]$$ .