Numeraire flipping y opciones de divisas FX

Question

En Dynamic Hedging de N. Taleb en la pág. 435 se afirma que:

El cambio de numerario consiste en cambiar la unidad en la que se expresa el numerario de la moneda base al activo contrapuesto. Por lo tanto, una call en S con strike K, tasa neutral al riesgo rd y tasa del activo contrapuesto d puede ser preciada como una put en 1/S con strike 1/K, tasa neutral al riesgo d y tasa del activo contrapuesto rd.

Dado que no puedo obtener el precio de una call como se indica en el "principio del cambio de numerario", no puedo descifrar por mí mismo los 3 puntos críticos reportados abajo. ¿Alguien podría explicarme, con algo de matemáticas si es posible, qué está ocurriendo?

Por favor, hágame saber si se necesitan más detalles. Gracias por la ayuda.

Edición

Fórmula de B&S: Si entiendo bien, debería obtener el mismo precio al calcular, asumiendo tasas cero para las tasas domésticas y extranjeras:

$$Call(S,K,T) = SN(d1)-KN(d2)=\frac1KN(-d2')-\frac1SN(-d1')=Put(\frac1S,\frac1K,T)$$

Ejemplo: S=5 USD-EUR (1 USD = 5 EUR), K=5.6 USD-EUR, TTM=180, vol=15.7%. Obtuve call=0.0460 y put=0.0016

La call tiene un precio en EUR por lo que debería dividir por 5, la tasa spot? Obtuve call=0.0092. Aún diferente.

¿Qué me falta? ¿Estoy violando algo al tomar tasas de interés cero?

Edición 2

Esta parte ha sido movida a otra pregunta más específica. La mantengo aquí también ya que hay algunos comentarios al respecto y está relacionada con el principio del cambio de numerario.

Desde este principio, el autor del libro destaca algunos puntos críticos:

1. El delta de la call y put obtenido a través de este principio será diferente (p. 435)
2. Una apuesta en dólares para una persona basada en dólares en USD-DEM es diferente en precio de la traducción a marcos alemanes de una apuesta en marcos alemanes en USD-DEM con el mismo strike y vencimiento (p. 286).
3. El precio de una apuesta para una persona basada en dólares, que es N(d2), es diferente al precio de la apuesta para la persona basada en DEM (por ejemplo) ya que esto último será N(d1) (p. 286).

Answer 1

Al observar el ejemplo anterior después de las ediciones. La respuesta corta es que necesitas multiplicar por $K$ así como por la tasa de cambio FX.

Para la respuesta más larga: Dejemos que $D^e, D^u$ sean los procesos de descuento en las diferentes monedas. Como en tu ejemplo, S(t) se refiere al precio en EUR de un USD. Consideremos la opción de compra denominada en EUR sobre un USD $C(t)$. Lo calcularé en el tiempo $t=0$ para hacer la notación un poco más ligera.

$$C(0) = \mathbb{E}^e(D^e(T)(S(T) - K)^+)$$

"multiplicando por uno" estratégicamente, se obtiene

$$C(0) = \mathbb{E}^e\Big(D^e(T)\frac{D^u(T)}{D^u(T)}(S(T) - K)^+\Big)$$

Sacando factor común a $S(T)$ de la expresión de la parte positiva, obtenemos

$$C(t) = \mathbb{E}^e\Bigg(D^e(T)\frac{D^u(T)}{D^u(T)}S(T)\Big(1 - \frac{K}{S(T)}\Big)^+\Bigg)$$

Observa que $\frac{S(t)D^u(t)}{D^e(t)}$ es un $e-$martingala (un argumento de arbitraje asegura que la deriva neutral al riesgo de mercado europeo de $S(T)$ es la diferencia entre las tasas EUR y USD.), por lo que podemos usarlo para definir una nueva medida, que llamaremos la medida $u$.

Nuevamente, multiplicando estratégicamente por uno, obtenemos

$$C(0) = \frac{S(0)D^u(0)}{D^e(0)}\frac{\mathbb{E}^e\Bigg(D^u(T)\frac{S(T)D^e(T)}{D^u(T)}\Big(1 - \frac{K}{S(T)}\Big)^+\Bigg)}{\mathbb{E}^e\Big(\frac{S(T)D^u(T)}{D^e(T)}\Big)}$$

Al cambiar la medida obtenemos:

$$C(0) = \frac{S(0)D^u(0)}{D^e(0)}\mathbb{E}^u\Bigg(D^u(T)\Big(1 - \frac{K}{S(T)}\Big)^+ \Bigg)$$

y sacando factor común a la $K$ obtenemos

$$C(0) = \frac{KS(0)D^u(0)}{D^e(0)}\mathbb{E}^u\Bigg(D^u(T)\Big(\frac{1}{K} - \frac{1}{S(T)}\Big)^+ \Bigg)$$

Lo cual se simplifica a

$$K \times S(0) \times \text{opción de venta denominada en USD}$$