si hay algún papel que estudie el efecto de $n$ en el precio de S[P]NE entre el precio competitivo y el de monopolio
En general, los equilibrios en la competencia de Bertrand (repetida) no dependerían de $n$. Esto se debe a la estructura de la demanda en tales juegos, es decir, la(s) empresa(s) con el precio más bajo obtiene (o comparte, en caso de empates) toda la demanda del mercado a ese precio. Puede ser posible construir a propósito un equilibrio en el cual el precio de equilibrio es una función de $n$, pero eso son más excepciones que regla.
Correctamente mencionaste que $n$ importa en apoyar un resultado colusivo como un equilibrio. Por ejemplo, $n$ puede determinar el factor de descuento que las empresas deben tener para coludir en un resultado particular. Sin embargo, una vez que se asegura que exista un equilibrio colusivo, $n$ se vuelve menos relevante para determinar el precio de equilibrio. Esto es especialmente cierto en vista de que el resultado colusivo más focal es el precio de monopolio, el cual no depende de $n$.
Dado lo anterior, es poco probable que encuentre algún papel sobre el efecto de $n$ en el precio de equilibrio de la competencia de Bertrand repetida.
¿si uno puede diseñar un modelo en forma cerrada para el cual hay un precio de equilibrio único para diferentes niveles de n?
La competencia de Cournot de $n$ empresas canónica presenta el precio de equilibrio como una función de $n$: $$p^* = \frac{a+nc}{n+1}.$$ Pero probablemente eso no es lo que estás buscando.
En una competencia de Bertrand infinitamente repetida, no obtendrás la unicidad de SPE, ya que los juegos repetidos tienden a tener una multiplicidad de equilibrios. Por ejemplo, ya hay al menos dos en Bertrand repetida: (i) todas las empresas juegan con precios de costo marginal (es decir, NE de juego en etapa) en cada período independientemente de la historia; y (ii) todas las empresas juegan con la estrategia de gatillo implacable con el precio de monopolio (dado un factor de descuento adecuado). Nuevamente, es probable que puedas construir un SPE donde el precio es una función de $n$, pero eso será uno entre muchos SPEs del juego.
