Convexidad y Preferencias Estrictas

Question

Estaba investigando la convexidad mientras leía el libro de microeconomía intermedia de Varian, y un artículo de Richter y Rubinstein decía: "La definición canónica de preferencias convexas requiere que si a es preferido a b, entonces cualquier combinación convexa de a y b también es preferida a b." (Interpreto "preferido" en el sentido fuerte en esta afirmación, aunque eso podría estar equivocado.) Miré el libro de texto de Kreps y él lo define ligeramente diferente: una relación de preferencia es convexa si para todo $x$ e $y$, si $x\succeq y$ y $z$ es una combinación convexa de $x$ e $y$, entonces $z\succeq y$. Estoy tratando de demostrar que la definición de Kreps implica la de Richter y Rubinstein. (A medida que pienso en esto, sin embargo, no estoy seguro de si esto es cierto dado mi entendimiento del último.)

Para la dirección hacia adelante, sea $x\succ y$ y $z$ sea una combinación convexa de $x$ y $y$. Debido a que $x\succeq y$ y $\succeq$ es convexo, $z\succeq y$. Ahora, necesito demostrar que la afirmación $y\succeq z$ es falsa, que es donde estoy atascado. Intenté una demostración por contradicción tratando de obtener $x$ como una combinación convexa de $y$ y $z$, pero eso no me llevó a ninguna parte.

Answer 1

Sea $X$ un subconjunto convexo de $\mathbb{R}^n$. Definimos

C1: $\forall x, y, z\in X$, si $x\succeq y$ y $z$ es una combinación convexa de $x$ y $y$, entonces $z\succeq y$.

C2: $\forall x, y, z\in X$, si $x\succ y$ y $z\neq y$ es una combinación convexa de $x$ y $y$, entonces $z\succ y$.

Proposición. C1 no implica C2.

Prueba. Consideremos $X=[0,2)$, definimos $\succeq$ en $X$ de la siguiente manera $x\succeq y$ si y solo si $\lfloor x\rfloor\geq \lfloor y\rfloor$. En otras palabras, $\succeq$ está representado por la función de utilidad $u:[0,2)\rightarrow\mathbb{R}$ definida como $u(x)=\lfloor x\rfloor = \begin{cases} 0 & \text{si } x \in [0,1) \\ 1 & \text{si } x \in [1,2) \end{cases}$. Claramente, $\succeq$ satisface C1 pero no C2. Para ver que no satisface C2, consideremos $x=1.5$ y $y=0$ tal que $x\succ y$, ahora $z=0.5$ es una combinación convexa de $x$ y $y$, pero no es el caso que $z \succ y$. Por lo tanto, C2 no se satisface.