Mientras intentaba comprender la fijación de precios neutral al riesgo de derivados cuando el activo subyacente es el precio spot de una materia prima, me encontré con la situación de que la medida utilizada para fijar precios de derivados no es en realidad la medida neutral al riesgo. Vea, por ejemplo, el modelo propuesto por Schwartz [1] donde la dinámica del precio spot está dada por \begin{align*} dS_t = \kappa S_t (\mu - \ln(S_t))dt + \sigma S_t dB_t \end{align*} donde $\kappa,\sigma>0,\mu \in \mathbb{R}$ y $(B_t)_{t\geq 0}$ es un Movimiento Browniano estándar bajo la medida del mundo real $\mathbb{P}$. Schwartz afirma que bajo la suposición de un precio constante de riesgo de mercado, el logaritmo del precio spot $X_t = \ln(S_t)$ evoluciona de acuerdo a $$ dX_t = \kappa(\mu-\frac{1}{2\kappa}\sigma^2-\lambda-X_t)dt+\sigma dB^{\mathbb{Q}_1}_t,$$ con $dB^{\mathbb{Q}_1}_t=dB_t+\frac{\kappa \lambda}{\sigma} dt$ siendo un Movimiento Browniano bajo la medida $\mathbb{Q}_1$ dado por el Teorema de Girsanov. La dinámica del precio spot neutral al riesgo está dada por $$ dS_t = \kappa S_t (\mu-\lambda-\ln(S_t))dt+\sigma S_t dB^{\mathbb{Q}_1}_t.$$
Sin embargo, el precio spot descontado $(\exp(-rt)S_t)_{t\geq 0}$ claramente no es un martingala bajo $\mathbb{Q}_1$, lo que me lleva a cuestionar ¿cómo puede $\mathbb{Q}_1$ ser utilizado para la fijación de precios de derivados?
Por el contrario, mi enfoque ingenuo sería establecer $\theta(S_t,t) = (\kappa \mu-\kappa \ln(S_t) -r)/\sigma$ como el precio de riesgo de mercado. Aplicando el Teorema de Girsanov, obtengo una medida $\mathbb{Q}_2$ bajo la cual $dB^{\mathbb{Q}_2}_t=dB_t+\theta(S_t,t)dt$ es un Movimiento Browniano y $$dS_t =r S_t dt + \sigma S_t dB^{\mathbb{Q}_2}_t.$$ El logaritmo del precio spot sigue $dX_t= (r-\frac{1}{2}\sigma^2)dt + \sigma dB^{\mathbb{Q}_2}_t$. Aquí, el precio spot descontado es una martingala bajo la medida $\mathbb{Q}_2$ y produciría resultados diferentes en la fijación de precios de derivados que el enfoque realizado por Schwartz[1].
Una forma diferente de plantear la pregunta sería: ¿Por qué la versión neutral al riesgo de un proceso $(Y_t)_{t\geq0}$ con $dY_t = \mu(Y_t,t)dt+\sigma(Y_t,t)dB_t$ no siempre tiene la forma $dY_t = rY_tdt+\sigma(Y_t,t)dB^{*}_t$?
[1] Schwartz, Eduardo S. "The stochastic behavior of commodity prices: Implications for valuation and hedging." The Journal of finance 52.3 (1997): 923-973.
