Necesito ayuda para entender el artículo de Baron & Besanko (1987) "Monitoring, Moral Hazard, Asymmetric Information, and Risk Sharing in Procurement Contracting"

Question

Estoy leyendo un artículo de Baron y Besanko (1987) (https://www.jstor.org/stable/2555639) y tengo dificultades para entender una parte particular de su matemática que trata sobre expectativas condicionales. ¡Cualquier ayuda es muy apreciada!

C es la función de costo: $C = c(\theta,a)x + k + \sqrt{\alpha}\epsilon$ donde "epsilon es el valor realizado de $\tilde \epsilon$ con media 0" $z=C + \sqrt{\beta}\eta$ ($\beta$ es el parámetro de aleatoriedad, "$\eta$ es el valor realizado de $\tilde \eta$ con media 0") $\alpha>0 \beta>0$ Ellos escriben: Para el caso donde $\tilde \epsilon$ y $\tilde\eta$ son variables aleatorias normales estándar e independientes, la distribución condicional del costo condicional en z se puede escribir como: $g(C|z) = N(C|(c(\theta,a)x + k)\frac{\beta}{\alpha+\beta} + z \frac{\alpha}{\alpha+\beta},\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta})$ donde N(.|m,v) denota la función de densidad normal con media m y varianza v.

Entonces, si no estoy equivocado, quieren decir que $E[C|z] =(c(\theta,a)x + k)\frac{\beta}{\alpha+\beta} + z \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$ y $Var[C|z] =\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta}$. No entiendo cómo han calculado esta media y varianza. Cualquier ayuda es muy apreciada. Estoy completamente perdido aquí.

Estaría agradecido si alguien que haya leído este artículo quisiera discutirlo conmigo.

Answer 1

El resultado se debe a las propiedades de las variables aleatorias normales.

Primero,

Si $X$ e $Y$ son normalmente independientes, entonces $Z=X+Y$ y $X$ son conjuntamente normales.

Segundo,

Si $X$ y $Z=X+Y$ son conjuntamente normales, entonces $$\begin{equation} E(X\mid Z) = \mu_X + \frac{\sigma_{XZ}}{\sigma_Z^2}(Z-\mu_Z) \quad\text{y}\quad \text{Var}(X\mid Z) = \frac{\sigma_X^2\sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2} \end{equation}$$

Aplicando esto a tu problema, donde $X=C$, $Y=\sqrt\beta\eta$, y $Z=z$ con las siguientes estadísticas $$\begin{align} \mu_X & = c(\theta,a)x+k \\ \mu_Z & = c(\theta,a)x+k \\ \sigma_X^2 & = \alpha \\ \sigma_Y^2 & = \beta \\ \sigma_{XZ} & = \sigma_X^2 = \alpha \\ \sigma_Z^2 & = \alpha +\beta \end{align}$$ obtenemos $$\begin{align} E(C\mid z) & = c(\theta,a)x+k+ \frac{\alpha}{\alpha+\beta}[z - (c(\theta,a)x+k)] \\ & = (c(\theta,a)x+k)\frac{\beta}{\alpha+\beta} + z\frac{\alpha}{\alpha+\beta} \end{align}$$ y $$\begin{align} \text{Var}(C\mid z) & = \frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta} \end{align}$$