¿Cómo mostrar que este juego de información completa siempre tiene un equilibrio de Nash de estrategia pura con probabilidad positiva?

Question

Supongamos que tengo el siguiente juego binario de 3 jugadores con $Y_i\in\{0,1\}$ denota la acción del jugador $i$ y $u_i+\delta_i\sum_{j\neq i}Y_j+\epsilon_i$ es la función de pago por elegir $Y_i=1$ para el jugador $i$ (la función de pago por elegir $Y_i=0$ es igual a 0), la cual es conocida por todos los jugadores. $\epsilon_i$ sigue una distribución con soporte $R$, como una distribución normal. $u_i$ y $\delta_i$ son números finitos que especifico en mi experimento numérico. Los jugadores tienen las siguientes mejores respuestas:

$Y_1=\mathbf{1}(u_1+\delta_1(Y_2+Y_3)+\epsilon_1>0),$

$Y_2=\mathbf{1}(u_2+\delta_2(Y_1+Y_3)+\epsilon_2>0),$

$Y_3=\mathbf{1}(u_3+\delta_3(Y_1+Y_2)+\epsilon_3>0),$

donde $\mathbf{1}(\cdot)$ es la función indicadora.

En general, supongo que no es cierto que el juego siempre tenga un equilibrio de Nash de estrategia pura para cualquier valor de $(u_i,\delta_i)_{i=1}^3$ y cualquier realización de $(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)$.

¿Cómo mostrar que para cualquier valor finito de $(u_i,\delta_i)_{i=1}^3$, este juego siempre tiene un equilibrio de Nash de estrategia pura con una probabilidad estrictamente positiva? Es decir, para cualquier valor finito de $(u_i,\delta_i)_{i=1}^3$, existe un conjunto de $E\subset R^3$ ($E$ podría depender de $(u_i,\delta_i)_{i=1}^3$) con una medida de probabilidad estrictamente positiva tal que cuando el valor realizado de $(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)$ cae en $E$, el juego tiene un equilibrio de Nash de estrategia pura.

Intuitivamente, supongo que el hecho de que $(\epsilon_i)_{i=1}^3$ esté soportado en $R^3$ juega un papel, es decir, la $\epsilon_i$ podría ser lo suficientemente grande o pequeña como para racionalizar cualquier acción. Pero no sé cómo mostrarlo formalmente.

Answer 1

Dada la forma en que se define el juego, el payoff del jugador $i$, $u_i+\delta_i\sum_{j\neq i}Y_j+\epsilon_i$, no se ve afectado por la acción del jugador $i$, $Y_i$, por lo que cada acción del jugador $i$ es la mejor respuesta (trivialmente). En consecuencia, cada posible perfil estratégico es un equilibrio de Nash.

Sin embargo, si el payoff del jugador $i$ es

\begin{eqnarray*} (u_i+\delta_i\sum_{j\neq i}Y_j+\epsilon_i)Y_i = \begin{cases} u_i+\delta_i\sum_{j\neq i}Y_j+\epsilon_i & \text{ si } Y_i=1 \\ 0 & \text{si } Y_i=0\end{cases} \end{eqnarray*}

En este caso, la mejor respuesta del jugador $i$ es $\text{BR}_i(Y_{-i}) = \begin{cases} \{0\} &\text{si } u_i+\delta_i\sum_{j\neq i}Y_j+\epsilon_i < 0 \\ \{0,1\} & \text{si } u_i+\delta_i\sum_{j\neq i}Y_j+\epsilon_i= 0 \\ \{1\} & \text{si } u_i+\delta_i\sum_{j\neq i}Y_j+\epsilon_i > 0\end{cases}$

entonces se puede mostrar fácilmente que $(1,1,1)$ es un equilibrio de Nash del juego anterior con probabilidad positiva. Suponiendo que todos los jugadores observan $(u_i,\delta_i,\epsilon_i)_{i=1}^{3}$, $(1,1,1)$ es un equilibrio de Nash cuando $\epsilon_i\geq-u_i-2\delta_i$ para todo $i$. Dado que $\epsilon_i$ están distribuidos normalmente de forma independiente, la probabilidad de que $(1,1,1)$ sea un equilibrio de Nash es igual a $\Pr(\epsilon_i\geq-u_i-2\delta_i\text{ para todos } i)$ $=\Pr(\epsilon_1\geq-u_1-2\delta_1)\Pr(\epsilon_2\geq-u_2-2\delta_2)\Pr(\epsilon_3\geq-u_3-2\delta_3)>0 $ para cada $(u_i,\delta_i)_{i=1}^{3}\in\mathbb{R}^6$. Por lo tanto, la probabilidad de que exista el equilibrio de Nash es positiva para cada $(u_i,\delta_i)_{i=1}^{3}\in\mathbb{R}^6$.