Conceptualmente, ¿cuál es la diferencia entre la tasa de descuento y la elasticidad intertemporal de sustitución?

Question

Supongamos que tengo un problema estándar de maximización con una función de utilidad CRRA $$\max_{c_t} \sum_{t=0}^\infty \beta^t \frac{c^{1-\sigma}}{1-\sigma}$$ Me parece que tanto $\beta$ como $\sigma$ controlan cuánto nos importa el consumo futuro en relación con el consumo actual.

Por lo general, en economía tratamos ambos parámetros como constantes a lo largo del tiempo y entre agentes. ¿Por qué usamos ambos? ¿Cuál es la diferencia conceptual entre los dos?

Podemos expresar esto como $$\frac{c_{t+1}}{c_t}=\beta^{1/\sigma}$$

¿Tiene sentido tener un modelo con ambos y estimarlos como objetos separados?

También sé que en CRRA la IES y la aversión al riesgo están integradas en un solo parámetro, pero hay funciones de utilidad que no las incluyen juntas como Epstein-Zin; más bien, me importa la diferencia entre $\beta$ y la IES.

Answer 1

Estas son diferentes medidas que son necesarias para responder algunas preguntas;

Tasa de descuento: $\beta$ mide cómo las personas descuentan el consumo futuro en relación al presente. Representa cuántos utils se pierden por consumo diferido. Por ejemplo, si la utilidad del consumo de una manzana en el tiempo $t=0$ es de 50, y $\beta=0.5$ entonces la tasa de descuento nos dice que la utilidad de consumir la misma manzana en el tiempo $t=1$ sería de 25.

La forma intuitiva de pensar en la tasa de descuento es que es un ajuste de unidades. La utilidad presente es más valiosa que la utilidad futura, por lo tanto, si solo te enfocas en la utilidad infratemporal, esencialmente tienes dos unidades. Continuando con mi ejemplo anterior, la manzana te daría 50 utils de utilidad presente si se consume hoy, y 50 unidades de utilidad futura si se consume mañana. $\beta^t$ es esencialmente una tasa de conversión para la utilidad en el período $t$ para que puedas hacer comparaciones intertemporales. De lo contrario, sería una comparación imposible.

Elasticidad de sustitución: Mide cómo cambia la relación entre el consumo presente, o continuando con el ejemplo de las manzanas, cómo cambia la relación entre el consumo presente de manzanas y el consumo futuro de manzanas. En esencia, te dice cuántas manzanas está dispuesto el agente a renunciar hoy para tener más manzanas mañana, o viceversa. Nota: la IES no te dice directamente sobre la tasa de conversión entre utils presentes y futuros, responde directamente a la pregunta sobre el consumo $c_t$.

Estas dos medidas claramente no son idénticas, salvo en casos especiales donde $\beta = IES$ como con la utilidad lineal. Además, ambas medidas responden a preguntas diferentes. La tasa de descuento te dice cuál es la tasa de conversión entre la utilidad presente y futura, de hecho esto también se refleja en el hecho de que generalmente lo ponemos al frente de la función de utilidad, es decir, la fórmula general de utilidad intertemporal es $U = \sum \beta^t u(c_t)$, mientras que la elasticidad responde a la pregunta de cuántas manzanas (no utils) está dispuesta la persona a renunciar hoy para tener más manzanas mañana.