¿Las normas básicas de la teoría del consumidor descartan las soluciones en esquina?

Question

Por teoría del consumidor estándar, me refiero a los axiomas (1) completitud, (2) transitividad, (3) continuidad, (4) no saciedad y (5) convexidad estricta de las curvas de indiferencia.

Si estos axiomas no son suficientes para descartar una solución en la esquina, ¿puedes darme un ejemplo de una función de utilidad que los satisfaga y aún así resulte en una solución en la esquina?

Answer 1

Un ejemplo clásico de una función de utilidad con soluciones de esquina frecuentes es la sustitución perfecta, por ejemplo $U(x,y) = x + 2y$. Sin embargo, esto no es estrictamente convexo. Pero si lo piensas, la solución de esquina solo necesita que las pendientes de la curva de indiferencia y la línea de presupuesto sean desiguales de la manera correcta en la esquina, no le importa la convexidad estricta en el interior. Por lo tanto, simplemente puedes 'doblar la curva de indiferencia' un poco

y aún así obtener una solución de esquina. Uno puede producir fórmulas para esto también, por ejemplo, esto sucede con la función de utilidad $$U(x,y) = \sqrt{x+1} + \sqrt{y+1}$$ y la línea de presupuesto $$x + 3y = 3.$$

Un ejemplo clásico de una función de utilidad que resulta en una solución de esquina sería una función de utilidad cuasilineal: $$U(x,y) = \ln{x} + y$$ Aquí la curva de oferta de ingresos es vertical, un consumidor con ingresos 'suficientemente pequeños' solo gastará en $x$.

Puedes descartar las soluciones de esquina requiriendo algo como las condiciones de Inada, es decir $$ \lim_{x\to 0 } \frac{\partial U(x,y) } {\partial x} = \infty \hskip 20pt \lim_{y\to 0 } \frac{\partial U(x,y) } {\partial y} = \infty $$ Esto hace que la curva de indiferencia sea tangencial a un eje al que se acerca, por lo tanto, una línea de presupuesto no puede intersectarla de la manera mostrada en el primer gráfico.

Answer 2

Aquí hay algunos ejemplos de preferencias que satisfacen (1) completitud, (2) transitividad, (3) continuidad, (4) no saciedad y (5) convexidad estricta de las curvas de indiferencia, junto con la posibilidad de soluciones de esquina en los problemas estándar de maximización de la utilidad:

Preferencias representadas por funciones de utilidad $u:\mathbb{R}^2_+\rightarrow\mathbb{R}$:

• $u(x_1,x_2)=x_1+x_2^\beta$, donde $\beta\in (0,1)$ es dado. Enlace: https://economics.stackexchange.com/a/58445/11824
• $u(x_1,x_2)=(x_1+a)(x_2+b)$, donde $a>0$, $b>0$ son dados. Enlace: https://economics.stackexchange.com/a/58316/11824
• $u(x_1,x_2)=x_2-x_1^2$ (Ejemplo de preferencia no monótona que satisface todas las condiciones anteriores)