Problema de minimización convertido en maximización

Question

Mi curso siempre convierte problemas de minimización en maximización. Dan la siguiente razón como se describe en el problema a continuación.

$Min\; P_xx + P_yy \; s.t. \; u(x,y) \le x^{\frac{1}{2}} + y$

• "Para aplicar el teorema de Kuhn-Tucker, podemos reescribir este problema como"

Lo escribirían como:

$Max\; -(P_xx + P_yy) \; s.t. \; -u(x,y) \ge -(x^{\frac{1}{2}} + y)$

1. Hasta donde sé, no es estrictamente necesario hacer esto, siempre y cuando nuestra restricción y función objetivo sean ambas convexas (es decir, nuestra Lagrangiana sea convexa), entonces la técnica de KKT / Lagrange encontrará un mínimo, al igual que encontraría un máximo, y a través de la dualidad, estos serán el mismo valor. Entonces, ¿por qué la importancia? Tengo la sospecha de que podría tener que ver con un punto sutil respecto a las restricciones de no negatividad que no han elaborado.

Restricciones de no negatividad: Suponiendo la posibilidad de $y = 0$ he escrito el problema a continuación tanto como maximización como minimización:

Max: $L(,x,t,) = -(P_xx + P_yy) - [(\bar{u} -(x^{\frac{1}{2}} + y)] + y$
Min: $L(,x,t,) = (P_xx + P_yy) + [(\bar{u} -(x^{\frac{1}{2}} + y)] - y$

Tomando la FOC con respecto a y del problema de Maximización obtenemos:

$\frac{\partial L}{\partial y} = -P_yy + + m \le 0$ Lo cual, al ser $ \ge 0$, implica que $\frac{\partial L}{\partial y} = -P_yy + \le 0$

• $P_yy \ge $

Y ahora aquí está mi problema, tomando la FOC con respecto al problema de Minimización obtenemos.

$\frac{\partial L}{\partial y} = P_yy - - \le 0$

Pregunta: Creo que cuando tenemos un problema de minimización, y estamos probando una restricción de no negatividad vinculante, es decir, una solución límite en el eje, entonces la desigualdad en la FOC se convierte en $\ge 0$. ¿Es esto correcto?

Es decir, debería ser: $\frac{\partial L}{\partial y} = P_yy - - \ge 0$ Lo cual, al ser $ \ge 0$, implica que $\frac{\partial L}{\partial y} = P_yy - \ge 0$

• $P_yy \ge $

Esta es la única forma en la que puedo hacer que tenga sentido, de lo contrario las dos versiones están dando resultados diferentes. Este problema pasa desapercibido cuando es igualdad contenida. Y porque mi curso nunca ha escrito el problema formalmente como un problema de minimización, no he podido ver qué sucede en este caso límite.

Si estoy en lo correcto, ¿alguien puede explicar alguna intuición económica / matemática detrás del $\ge 0$?

¡Gracias!

Actualización 23/04/2024

Para tratar de aclarar qué versión de KKT (creo) estoy siguiendo, como sugirió Michael, he delineado las sutilezas en los comentarios de dos cursos diferentes que he tomado. Para ponerlo en contexto, el grado es auto-instruido, por lo que tengo muy poca ayuda externa aparte de la amabilidad de entusiastas como ustedes mismos. Esto también significa que las diferencias en los métodos son difíciles de distinguir entre la conveniencia de un módulo en particular versus una diferencia fundamental.

Las imágenes que adjunto aquí son capturas de pantalla de este programa de preparación matemática Econ PHD de YouTube por Mark Walker, que ha sido la referencia más útil para mí.

Answer 1

El Lagrangiano no es realmente simétrico; algo que es más fácil de ver si lo formulas sin la implementación del cálculo. Las condiciones de primer orden para máximos y mínimos pueden parecer similares, pero los máximos y mínimos son muy diferentes.

Tienes la función $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ que quieres maximizar, sujeta a la restricción (escrita usando notación vectorial) de que $G(x)\leq b$ para una función $G:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ y algún $b\in\mathbb{R}^m$. El Lagrangiano $L:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m_+\to\mathbb{R}$ está dado por $$L(x,\lambda)=f(x)+\lambda\cdot (b-G(x)).$$ Puedes ver el Lagrangiano como la función de pago de un juego de suma cero. Un jugador, el que controla $x$, quiere maximizar el Lagrangiano, y el otro jugador, el que controla $\lambda$, quiere minimizar el Lagrangiano. Las condiciones de suficiencia te dicen que si tienes un equilibrio de este juego, entonces el pago del maximizador es el máximo del problema de optimización. Las condiciones necesarias garantizan que existe un equilibrio y que se cumple un teorema minimax para este juego: $$\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\inf_{\lambda\in\mathbb{R}^m_+}L(x,\lambda)=\inf_{\lambda\in\mathbb{R}^m_+}\sup_{x\in\mathbb{R}^n} L(x,\lambda).$$ El sup se convierte en un máximo, el inf se convierte en un mínimo, y las soluciones se dan mediante condiciones de primer orden. Aquí está la idea de por qué funciona: Si el maximizador maximiza $f$ bajo la restricción, obtenemos $b-G(x)\geq 0$, y por lo tanto, para cada $\lambda\geq 0,$ se tiene $\lambda\cdot (b-G(x))\geq 0$. Dado que $\lambda=0$ siempre es posible para el minimizador, debemos tener $\lambda\cdot (b-G(x))= 0$. Sin embargo, si el maximizador violara la restricción, debe haber alguna coordenada $i=1,\ldots,m$ tal que $b_i-G_i(x)<0$. Sea $e_i\in\mathbb{R}^m$ el vector con un $1$ en el lugar $i$ y todos los demás coordenadas $0$. Para $\lambda=C e_i$ con $C$ un número positivo grande, el Lagrangiano puede hacerse arbitrariamente pequeño (negativo). Por lo tanto, el maximizador debe cumplir con la restricción para que el minimizador no "gane". La dualidad te dice que no importa qué jugador se mueva primero, pero no cambia la asimetría entre maximizar y minimizar. Por supuesto, puedes reescribir el resultado para ser uno para problemas de minimización, que es exactamente lo que obtienes al maximizar $-f$.