SVAR: ¿prueba de las restricciones y la identificabilidad de $(K^2-K)/2$?

Question

Actualmente estoy utilizando modelos autorregresivos vectoriales estructurales de Kevin Kotzé para aprender la Autoregresión Vectorial. Uno de los puntos que establece es el siguiente:

el número de restricciones que necesitamos imponer es equivalente al número de términos en el triángulo inferior (o superior) de la matriz B, que es $(K^2-K)/2$

donde nuestro modelo es el siguiente VAR(1) ($y_t$ es un vector de variables de dimensión K):

$B y_t = \Gamma_0 + \Gamma_1 y_{t-1} + \varepsilon_t$, lo que lleva al siguiente VAR en forma reducida:

$y_t = A_0 + A_1 y_{t-1} + u_t$

En el caso bivariado, esto parece tener sentido ya que con $K=2$, podemos resolver fácilmente el sistema de ecuaciones y encontrar todos los parámetros VAR estructurales. Sin embargo, no es totalmente obvio para mí:

a) Por qué $(K^2-K)/2$ es el número mágico que nos permite deducir los parámetros estructurales - Entiendo que es equivalente al triángulo superior de B.

b) Cómo sabemos que dado esta cantidad de restricciones, siempre podremos resolver todos los parámetros estructurales. Calculé a mano y pude convencerme para $K=2$, pero no es inmediatamente obvio que dimensiones más altas seguirán de manera similar.

Me pregunto si hay alguna prueba o ilustración más rigurosa de por qué este resultado puede ser cierto para todos los $K$.

Answer 1

Imponer simetría en una matriz $(K \times K)$ $B$ requiere

1. restringir $K-1$ elementos $b_{1k}$ de la primera fila para que sean iguales a los $K-1$ elementos $b_{k1}$ de la primera columna, con $k=2,\ldots,K$, lo que representa un total de $K-1$ restricciones
2. imponer en la segunda fila de $B$, $K-2$ igualdades entre los elementos a la derecha de $b_{22}$, con los elementos de la segunda columna debajo de $b_{22}$

...

En total, hay $(K-1)+(K-2)+ \ldots +1=K(K-1)/2$ restricciones involucradas en imponer simetría en la matriz $B$. Para la última igualdad, el resultado para series aritméticas es útil: https://es.wikipedia.org/wiki/Progresión_aritmética

Respecto a tu pregunta (b), tener una matriz simétrica $B$ no es suficiente, también debe ser de rango completo (invertible), para que haya una transformación única que te permita ir de la forma estructural a la forma reducida, y viceversa.