Modelo de señalización (Reorganizando las FOCs de UMP)

Question

Actualmente estoy leyendo "TASAS DE AHORRO Y POBREZA: EL PAPEL DEL CONSUMO CONSPICUO Y DEL CAPITAL HUMANO" de Omer Moav y Zvika Neeman, y tengo problemas para derivar una de las ecuaciones.

Función de utilidad, donde $y$ es ingreso, $\widetilde y$ es la creencia de $y$ basada en $x$ y el capital humano $h$, $x$ es el producto de interés:

$$u(y,x) = (y-x)^{1-\lambda} \widetilde y(h,x)^\lambda$$

Diferenciando con respecto a $x$:

$$\frac{\lambda}{1-\lambda} \frac{y-x}{\widetilde y(h,x)} = \frac{1}{d \widetilde y (h,x) / d x}$$

Esta es la parte confusa, ¿cómo obtengo esto de arriba sabiendo que $y=\widetilde y(h,x)$?

Dado esto $\underline y$, el ingreso mínimo posible que un individuo de $h$ puede tener ($\pi$ es un componente incierto de ingresos que no se observa y tiene media cero):

$$\underline y (h) \equiv h + \underline \pi (h)$$

$$\widetilde y (h,x)^{1/(1-\lambda)} - \frac{x}{\lambda} \widetilde y (h,x)^{\lambda / (1-\lambda)} = \underline y (h)^{1/(1-\lambda)}$$

Creo que tiene algo que ver con la utilidad siendo indiferente para la persona marginal que consume $x>0$ y $x=0$, pero no sé cómo resolverlo para obtener la ecuación mostrada anteriormente.

¡Gracias!

Answer 1

Simplemente están igualando $\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}$ a 0 y reorganizando:

$$ \frac{\partial u(x,y)}{\partial x}:= 0 \iff \lambda(y-x)^{1-\lambda}[\tilde y(h,x)]^{\lambda - 1}\frac{\partial \tilde y(h,x)}{\partial x} -(1-\lambda)(y-x)^{-\lambda}[\tilde y(h,x)]^{\lambda} = 0 $$

Reorganizando esto, obtienes de hecho

$$ \frac{\lambda}{1-\lambda}\frac{y-x}{\tilde y (h,x)} = \frac{1}{\partial \tilde y (h,x) /\partial x} $$