Preferencias localmente insatisfechas

Question

¿Qué significa este símbolo en la discusión de las preferencias no saciadas localmente: $\varepsilon > 0$ y $||y-x||<\varepsilon$.

Answer 1

Si tomas el vector $\mathbf{x}$ como el centro y un $\epsilon > 0$ suficientemente pequeño como el radio, entonces la bola abierta (vecindario local del vector $\mathbf{x}$) es el conjunto de todos los vectores $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}$ cuya distancia al centro $\mathbf{x}$ es menor que $\epsilon$ medida con respecto a la métrica $\Arrowvert \cdot \Arrowvert $, es decir, más formalmente como

$$\mathbf{B}(\mathbf{x},\epsilon) := \big\{\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}\,\Big\arrowvert\, \Arrowvert \mathbf{y} - \mathbf{x} \Arrowvert < \epsilon \big\}.$$

Observa que medir una distancia por una métrica solo es posible dentro de un espacio métrico o un espacio normado como Hausdorff o Banach. Los espacios topológicos en general no tienen una métrica, en este caso el concepto anterior se debe generalizar. Afortunadamente, todos los espacios de dimensión finita tienen una norma canónica, es decir, la norma euclidiana.

Answer 2

$||v||$ es el símbolo de la norma, significa la longitud del vector $v$.

Answer 3

Depende de lo que exactamente quieras decir con "este símbolo":

1. $\varepsilon$ denota un número real.
2. $>$ representa la relación estrictamente mayor que en los números reales.
3. $0$ es el número cero, es decir, el elemento neutro con respecto a la adición.
4. $x$ e $y$ son paquetes de consumo, es decir, vectores de la misma dimensión finita con entradas reales no negativas.
5. $-$ es el signo menos, el inverso de la operación $+$. La operación se realiza elemento por elemento para vectores.
6. $||v||$ es la norma (es decir, longitud) del vector $v$. Si $v\in\mathbb{R}^n$, entonces $||v||=(v_1^2+\cdots +v_n^2)^\frac{1}{2}$.
7. $<$ representa la relación estrictamente menor que en los números reales.