Para resolver el problema de maximización de utilidad, necesitas seguir el dinero.
El ingreso total es $M$ que se divide entre la madre y el padre de acuerdo a los pesos de Pareto $\mu$ y $(1-\mu)$. Esto implica que $\mu M$ se utiliza en $u_m$ y $(1-\mu)M$ en $u_f$.
El ingreso $\mu M$ es dividido por la madre en $X_1$ para el hijo $1$ y $X_2$ para el hijo $2$. Sea $s_1^m$ la parte del ingreso de la madre $\mu M$ utilizado en $X_1$ y $s_2^m$ la parte de $\mu M$ utilizado en $X_2$. De igual manera, sea $s_1^f$ y $s_2^f$ las mismas partes para el caso del padre.
Por lo tanto, la madre utiliza $s_1^m\mu M$ en $X_1^m$ (subíndice para indicar que es $X_1$ pagado por la madre) y $s_2^m\mu M$ en $X_2^m$. De manera similar, para el padre $s_1^f(1-\mu)M$ utilizado en $X_1^f$ y $s_2^f(1-\mu) M$ utilizado en $X_2^f$.
Finalmente, lo que se gasta en $X_1$ se gasta en parte en $h_1$ y en parte en $e_1$ por las partes $c$ y $(1-c)$ por tanto por la madre como por el padre.
Por lo tanto, la demanda de la madre por $h_1$ se da como
$$h_1^m = \frac{cs_1^m \mu M}{P_{h_1}},$$
y la demanda de la madre por $e_1$ es
$$e_1^m = \frac{(1-c)s_1^m \mu M}{P_{e_1}},$$
La demanda de la madre por $h_2$ es
$$h_2^m = \frac{cs_2^m \mu M}{P_{h_2}},$$
y la demanda de la madre por $e_1$ es
$$e_2^m = \frac{(1-c)s_2^m \mu M}{P_{e_2}},$$
y las demandas de los padres son iguales solo que con $(1-\mu)$ en lugar de $\mu$ y las partes de los padres $s_1^f$ y $s_2^f$.
Las partes $s_1^m,s_1^f,s_2^m,s_2^f$ se encuentran resolviendo el problema de maximización de utilidad CES y el problema de minimización del gasto de la utilidad CD.
La demanda Marshall de una función de utilidad CES de la forma
$$(kZ_1^\alpha + (1-k)Z_2^{1-\alpha})^{1/\alpha}$$
puede escribirse como
$$Z_1^\star =\left[ \frac{k^\alpha P_{Z_1}^{1-\alpha}}{k^\alpha P_{Z_1}^{1-\alpha} + (1-k)^\alpha P_{Z_2}^{1-\alpha}}\right] \frac{I}{P_{Z_1}} $$
$$Z_2^\star =\left[ \frac{(1-k)^\alpha P_{Z_2}^{1-\alpha}}{k^\alpha P_{Z_1}^{1-\alpha} + (1-k)^\alpha P_{Z_2}^{1-\alpha}}\right] \frac{I}{P_{Z_2}},$$
donde los términos entre corchetes son las partes (ver por ejemplo este tutorial https://www.youtube.com/watch?v=WhxprnW2Sc4).
Para calcular la parte $s_1^m$ haz lo siguiente:
(1) Sea $P_{Z_1}$ y $P_{Z_2}$ $P_{X_1}$ y $P_{X_2}$
(2) Sea $k=a$ y
(3) Sea $\alpha=\rho$
Para obtener
$$s_1^m = \left[ \frac{a^\rho P_{X_1}^{1-\rho}}{a^\rho P_{X_1}^{1-\rho} + (1-a)^\rho P_{X_2}^{1-\rho}}\right],$$
Finalmente, para obtener el precio de $X_1$ y $X_2$ necesitas la función de gasto de las funciones CD $A_1h_1^ce_1^{1-c}$ y $A_2h_2^ce_2^{1-c}$. Derivaré esto asumiendo que el ingreso es $E$ y luego usaré las demandas Marshall para obtener la función de valor que luego invertiré para obtener la función de gasto.
La función de valor para $A_1h_1^ce_1^{1-c}$ es
$$V(P_{h_1},P_{e_1},E) = \frac{A_1c^c(1-c)^{1-c}}{P_{h_1}^cP_{e_1}^{1-c}} E,$$
entonces la función de gasto es
$$E = \frac{P_{h_1}^cP_{e_1}^{1-c}}{A_1c^c(1-c)^{1-c}} V,$$
lo que te dice que el precio para el punto de utilidad de $X_1$ es simplemente
$$P_{X_1} = \frac{P_{h_1}^cP_{e_1}^{1-c}}{A_1c^c(1-c)^{1-c}},$$
por el mismo argumento el precio $P_{X_2}$ se encuentra como
$$P_{X_2} = \frac{P_{h_2}^cP_{e_2}^{1-c}}{A_2c^c(1-c)^{1-c}},$$
luego puedes insertar esto en la expresión para $s_1^m$.
Ten en cuenta que los precios de $P_{X_1}$ y $P_{X_2}$ son los mismos para la madre y el padre y solo dependen de constantes exógenas dadas.
Debes hacer esto para el resto de las partes también... pero dejo eso como un ejercicio para ti.
PD. Para derivar la razón de salud
$$\lambda := \frac{h_1}{h_2} = \frac{h_1^f + h_1^m}{h_2^f + h_2^m}$$
$$h_1^m + h_1^f= \frac{cM(s_1^m\mu +s_1^f(1-\mu))}{P_{h_1}},$$
$$h_2^m + h_2^f= \frac{cM(s_2^m\mu +s_2^f(1-\mu))}{P_{h_2}},$$
$$\lambda = \frac{P_{h_2}}{P_{h_1}}\frac{(s_1^m\mu +s_1^f(1-\mu))}{(s_2^m\mu +s_2^f(1-\mu))}$$
