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Maximización de la función de utilidad anidada con 2 restricciones

Pido disculpas por cualquier uso inapropiado de terminología/notación ya que solo tengo un entendimiento muy rudimentario del tema. Me gustaría saber cómo resolver el siguiente problema de maximización de utilidad relacionado con la asignación de recursos intrafamiliares:

Las utilidades de la madre y del padre entran en la función de utilidad colectiva, la cual tiene una forma simple de Cobb Douglas, donde μ denota el peso de Pareto de la madre, y 1μ es el del padre:

max U=uμmu(1μ)f.

Las subfunciones de utilidad parental, anidadas en la función de utilidad del hogar, toman ambas la forma CES, en la cual los padres deciden la cantidad de capital humano X de los hijos 1 y 2 que maximizaría su utilidad individual. El problema por lo tanto solo concierne la asignación de recursos hacia dos bienes públicos. a y ρ son la preferencia de la madre por el hijo 1 y el grado de aversión a la desigualdad, respectivamente. b y σ cumplen los mismos roles en la subutilidad del padre:

um=(aXρ1+(1a)Xρ2)1ρ

uf=(bXσ1+(1b)Xσ2)1σ.

sujeto a la función de producción de capital humano de los dos hijos, también de forma funcional Cobb Douglas:

X1=A1hc1e1c1

X2=A2hc2e1c2

donde A son las dotes genéticas del niño, y h y e cada uno denota la cantidad de insumos de salud y educación que van a la función de producción del niño.

también sujeto a M=Ph1h1+Ph2h2+Pe1e1+Pe2e2,

Donde P denota el precio del insumo correspondiente a su subíndice. La parte del presupuesto que la madre controla en su maximización de subutilidad es μ, y para el padre, 1μ.

Me gustaría resolver la proporción de insumos de salud/educación del hijo 1 al hijo 2.

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user10287 Puntos 61

Para resolver el problema de maximización de utilidad, necesitas seguir el dinero.

El ingreso total es M que se divide entre la madre y el padre de acuerdo a los pesos de Pareto μ y (1μ). Esto implica que μM se utiliza en um y (1μ)M en uf.

El ingreso μM es dividido por la madre en X1 para el hijo 1 y X2 para el hijo 2. Sea sm1 la parte del ingreso de la madre μM utilizado en X1 y sm2 la parte de μM utilizado en X2. De igual manera, sea sf1 y sf2 las mismas partes para el caso del padre.

Por lo tanto, la madre utiliza sm1μM en Xm1 (subíndice para indicar que es X1 pagado por la madre) y sm2μM en Xm2. De manera similar, para el padre sf1(1μ)M utilizado en Xf1 y sf2(1μ)M utilizado en Xf2.

Finalmente, lo que se gasta en X1 se gasta en parte en h1 y en parte en e1 por las partes c y (1c) por tanto por la madre como por el padre.

Por lo tanto, la demanda de la madre por h1 se da como

hm1=csm1μMPh1,

y la demanda de la madre por e1 es

em1=(1c)sm1μMPe1,

La demanda de la madre por h2 es

hm2=csm2μMPh2,

y la demanda de la madre por e1 es

em2=(1c)sm2μMPe2,

y las demandas de los padres son iguales solo que con (1μ) en lugar de μ y las partes de los padres sf1 y sf2.

Las partes sm1,sf1,sm2,sf2 se encuentran resolviendo el problema de maximización de utilidad CES y el problema de minimización del gasto de la utilidad CD.

La demanda Marshall de una función de utilidad CES de la forma

(kZα1+(1k)Z1α2)1/α

puede escribirse como

Z1=[kαP1αZ1kαP1αZ1+(1k)αP1αZ2]IPZ1

Z2=[(1k)αP1αZ2kαP1αZ1+(1k)αP1αZ2]IPZ2,

donde los términos entre corchetes son las partes (ver por ejemplo este tutorial https://www.youtube.com/watch?v=WhxprnW2Sc4).

Para calcular la parte sm1 haz lo siguiente:

(1) Sea PZ1 y PZ2 PX1 y PX2

(2) Sea k=a y

(3) Sea α=ρ

Para obtener

sm1=[aρP1ρX1aρP1ρX1+(1a)ρP1ρX2],

Finalmente, para obtener el precio de X1 y X2 necesitas la función de gasto de las funciones CD A1hc1e1c1 y A2hc2e1c2. Derivaré esto asumiendo que el ingreso es E y luego usaré las demandas Marshall para obtener la función de valor que luego invertiré para obtener la función de gasto.

La función de valor para A1hc1e1c1 es

V(Ph1,Pe1,E)=A1cc(1c)1cPch1P1ce1E,

entonces la función de gasto es

E=Pch1P1ce1A1cc(1c)1cV,

lo que te dice que el precio para el punto de utilidad de X1 es simplemente

PX1=Pch1P1ce1A1cc(1c)1c,

por el mismo argumento el precio PX2 se encuentra como

PX2=Pch2P1ce2A2cc(1c)1c,

luego puedes insertar esto en la expresión para sm1.

Ten en cuenta que los precios de PX1 y PX2 son los mismos para la madre y el padre y solo dependen de constantes exógenas dadas.

Debes hacer esto para el resto de las partes también... pero dejo eso como un ejercicio para ti.

PD. Para derivar la razón de salud

λ:=h1h2=hf1+hm1hf2+hm2

hm1+hf1=cM(sm1μ+sf1(1μ))Ph1,

hm2+hf2=cM(sm2μ+sf2(1μ))Ph2,

λ=Ph2Ph1(sm1μ+sf1(1μ))(sm2μ+sf2(1μ))

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