Pido disculpas por cualquier uso inapropiado de terminología/notación ya que solo tengo un entendimiento muy rudimentario del tema. Me gustaría saber cómo resolver el siguiente problema de maximización de utilidad relacionado con la asignación de recursos intrafamiliares:
Las utilidades de la madre y del padre entran en la función de utilidad colectiva, la cual tiene una forma simple de Cobb Douglas, donde μ denota el peso de Pareto de la madre, y 1−μ es el del padre:
max U=uμmu(1−μ)f.
Las subfunciones de utilidad parental, anidadas en la función de utilidad del hogar, toman ambas la forma CES, en la cual los padres deciden la cantidad de capital humano X de los hijos 1 y 2 que maximizaría su utilidad individual. El problema por lo tanto solo concierne la asignación de recursos hacia dos bienes públicos. a y ρ son la preferencia de la madre por el hijo 1 y el grado de aversión a la desigualdad, respectivamente. b y σ cumplen los mismos roles en la subutilidad del padre:
um=(aXρ1+(1−a)Xρ2)1ρ
uf=(bXσ1+(1−b)Xσ2)1σ.
sujeto a la función de producción de capital humano de los dos hijos, también de forma funcional Cobb Douglas:
X1=A1hc1e1−c1
X2=A2hc2e1−c2
donde A son las dotes genéticas del niño, y h y e cada uno denota la cantidad de insumos de salud y educación que van a la función de producción del niño.
también sujeto a M=Ph1h1+Ph2h2+Pe1e1+Pe2e2,
Donde P denota el precio del insumo correspondiente a su subíndice. La parte del presupuesto que la madre controla en su maximización de subutilidad es μ, y para el padre, 1−μ.
Me gustaría resolver la proporción de insumos de salud/educación del hijo 1 al hijo 2.