Estoy tratando de entender cómo construir una estrategia de trading de pares en 3 o más activos.
En el caso de 2 activos, asumiendo deriva cero, intercambiamos basados en:
$$dX_t = \beta_AdS_t^A - \beta_B dS_t^B,$$
donde $\beta_A=\frac{cov\left(S^A,S^B\right)}{\sigma^2_A}$, $\beta_B=\frac{cov\left(S^B,S^A\right)}{\sigma^2_B}$ es el beta. Pero estos betas se convierten en la ratio de las varianzas ya que sus covarianzas son iguales. Por lo tanto, efectivamente elegimos corto/largo la ratio de sus varianzas. Así que si $$\sigma^2_A = 0.20, \quad \sigma^2_B = 0.10$$
Si la acción A sube $10$, entonces si vendimos en corto $100$ acciones de la acción $A$, compraríamos $100\cdot\frac{0.20}{0.10}= 200$ acciones de la acción $B$.
Si decidimos tener 3 acciones en lugar de 2, digamos $A, B, C$ y tenemos la matriz de correlación: $$ \Sigma=\left[\begin{array}{lll} 1 & \rho_{A,B} & \rho_{A,C} \\ \rho_{B,A} & 1 & \rho_{B,C} \\ \rho_{C,A} & \rho_{C,B} & 1 \\ \end{array}\right] $$
¿Cómo se aplicaría esto si solo negociamos una acción (digamos $A$)? (A partir de aquí, asumimos que los rendimientos tienen media 0, $\mu=0$). En mi escenario inventado, el activo $A$ tiene la matriz de correlación anterior, pero el movimiento de los rendimientos correlacionados siempre está retrasado. En otras palabras:
$$\text{corr}(dS^A_{t+1}, dS^B_{t}) = \rho_{A,B}$$ $$\text{corr}(dS^A_{t+1}, dS^C_{t}) = \rho_{A,C}$$
Entonces no necesitamos comprar y vender en corto el par ya que tenemos cierta certeza sobre lo que será A en el momento $t+1$ dado los rendimientos en $t$. Podemos simplemente comprar/vender en corto $A$ dependiendo de sus rendimientos y la correlación de $B$ y $C$
En este caso, ¿cuál sería el monto del tamaño del trade?
Mi intuición inicial es que el tamaño es igual a $$trade = \sum_{i=1}^{2}\text{movimiento} \times \text{correlación}\times \text{ratio de varianza}$$
Así que si $\sigma_B = \sigma_C$ y $\rho_{A,B} > \rho_{A,C}$, pero entonces $dS^B_t=1$ y $dS^C_t=-1$ entonces compraríamos $A$ en anticipación de que suba ya que $A$ tiene una mayor correlación con $B$ (similarmente si sus correlaciones son iguales, pero 1 tiene una mayor volatilidad y/o 1 tiene un mayor movimiento).
Esto parece una estrategia razonable dado que tenemos esta correlación retrasada. El problema con mi lógica es que si tenemos 4 activos en su lugar. Podemos usar la misma lógica que antes:
$$trade = \sum_{i=1}^{3}\text{movimiento} \times \text{correlación}\times \text{ratio de varianza},$$ pero el problema surge ¿qué pasa con las correlaciones entre las acciones $B,C,D$?
Si $$\rho_{A,B} = 0.3$$ $$\rho_{A,C} = 0.3$$ $$ \rho_{A,D}=0.6$$ $$\sigma_A = \sigma_B = \sigma_C = \sigma_D$$ pero $C$ y $D$ están altamente correlacionadas, como $\rho_{C,D} = 0.9$. Entonces en el escenario:
$$dS^B_t = -10$$ $$dS^C_t = 3$$ $$dS^D_t = 4$$
$D$ subió porque está altamente correlacionado con $C$ (y viceversa). Entonces tendríamos:
$$trade = -10 * 0.3 + 3 * 0.3 + 4 * 0.6$$ (ignorando la ratio de varianza ya que sus volatilidades son iguales). Para mí, esto no parece razonable porque el movimiento del activo $D$ está de alguna manera "incorporado" en el activo $C$. Por lo tanto, sumarlos sería como contar dos veces lo mismo.
¿Cómo podría resolver esto?
Estoy efectivamente preguntando: $$\mathbb{P}(dS^A_{t+1}> 0 | dS^B_t= -10, dS^C_t = 3,dS^D_t=4) $$
(Si es mayor que $0.5$ compramos)
Pero no creo que sea posible ya que los eventos $\{dS^B_t= -10, dS^C_t = 3,dS^D_t=4\}$ no son medibles, por lo que condicionar sobre ellos no es posible.
