Tabla de P/L para una posición delta cubierta

Question

Estoy tratando de replicar la tabla en la página 119 de Dynamic Hedging de N. Taleb sin éxito. En el ejemplo llamado "Un delta engañoso" un operador tiene la siguiente posición:

• largo \$1 millón de la call de 96 (delta .824, por lo tanto, largo \$824k)
• corto \$1 millón de la call de 104 (delta .198, por lo tanto, corto \$198k)
• hacer un hedge de la posición vendiendo \$626k del forward

donde todas las opciones son europeas sobre el mismo activo subyacente y con la misma madurez. Además, asumimos una curva de rendimiento plana.

Encontré en esta respuesta (Pregunta sobre un ejemplo de "Dynamic Hedging" por Nassim Taleb) el hecho de que, probablemente, haya un error en el libro y que las posiciones deberían estar invertidas.

De todos modos, no soy capaz de calcular los P/Ls y deltas reportados y me gustaría algo de ayuda.

Por ejemplo, por lo que entiendo, el mercado está operando a \$100 el subyacente, entonces tenemos P/L=0 y delta=0. Supongamos que el subyacente está a \$103. Me gustaría calcular el P/L sumando (considero aquí la "posición invertida" como se sugiere en la respuesta arriba):

• ganancia del largo en el activo: \$626k*(103-100)/100
• ganancia del largo en la call de 104: $1 millón*(103-100)*0,198
• pérdida del corto en la call de 96: -\$1 millón*(103-100)*0,824

Lo que obtuve es muy diferente del P/L de \$12k reportado.

¿Cómo se calcula este último número? ¿Cómo se calcula el delta de \$106k?

Gracias por la ayuda. Por favor, avíseme si se necesitan más detalles.

Answer 1

Dado el delta para las dos opciones, asumiría que la volatilidad se asume que es alrededor de 0.16. Si (delta) cubres tu posición, tendrás una P&L cercana a 0 (ya que tu cambio en PnL se puede aproximar por tu delta neto, que es 0), pero a medida que te alejas más del precio del activo 100 tu delta neto cambiará. Por ejemplo, si tu precio sube a 105, se aplica lo siguiente (asumiendo volatilidad de 0.16):

delta de la llamada de $96$: $0.978$ (calculado en el marco de Black-Scholes)

delta de la llamada de 104: $0.593$ (calculado en el marco de Black-Scholes)

Mientras mantengas el forward, aún tendrás una posición delta 1 de \$ $626,000$.

Entonces, tu delta neto se convierte en $0.593-0.978+0.626 = 0.241$.

Puedes hacer esto para cada precio del activo para obtener la tabla como en el libro. Para calcular la P/L, simplemente usa los precios en un marco de Black-Scholes en lugar del Delta.