Propiedades de las Distribuciones Frechet Multivariadas

Question

Estaba leyendo una respuesta de otra publicación de Economía en Stack Exchange y tenía más preguntas.

La respuesta con más votos positivos aquí utilizó dos propiedades de las distribuciones Frechet multivariadas, pero el autor no las demostró. Me pregunto si alguien (o el autor de la respuesta) puede proporcionar una referencia donde pueda aprender más sobre estas propiedades. Para mayor comodidad, proporciono las propiedades a continuación:

Si $Z_j$ son variables aleatorias independientes con funciones de distribución acumulada Frechet $F(z_j) = \exp(-z_j ^{- \theta})$, entonces

1. Cuando escalas $Z_j$ con una constante $A_j$, la distribución se convierte en
   $$A_jZ_jF(z_j)=\exp(A^\theta_jz^{}_j).$$

2. La probabilidad de que $i=\arg \max_j[A_jZ_j]$ es dada por
   $$\pi_i=\frac{A^\theta_i}{\sum_jA^\theta_j}.$$

Answer 1

1

$\begin{aligned} \operatorname{Pr}\left(A_j Z_j \leq z\right)=\operatorname{Pr}\left(Z_j \leq \frac{z}{A_j}\right)=F\left(\frac{z}{A_j}\right) =\exp \left(-\left(\frac{z}{A_j}\right)^{-\theta}\right)=\exp \left(-A_j^\theta z^{-\theta}\right) \end{aligned}$

2

$\begin{aligned} \operatorname{Pr}\left(i=\arg \max _j\left[A_j Z_j\right]\right) & = \int_0^{\infty} \Pi_{j \neq i} \operatorname{Pr}\left(A_j Z_j \leq A_i Z_i \right) d F(Z_i) \\ & = \int_0^{\infty} \Pi_{j \neq i} \exp \left(-A_j^\theta (A_iZ_i)^{-\theta}\right) F'(Z_i) dZ_i \\ & = \int_0^{\infty} \exp \left(\sum_{j \neq i} -A_j^\theta (A_iZ_i)^{-\theta}\right) \theta Z_i^{-\theta-1}\exp \left(-Z_i^{-\theta}\right) d Z_i \\ & = \int_0^{\infty} \exp \left(\sum_{j } -A_j^\theta (A_iZ_i)^{-\theta}\right) \theta Z_i^{-\theta-1} d Z_i \\ & = \frac{A_i^\theta}{\sum_{j } A_j^\theta} \left[ \exp \left(\sum_{j } -A_j^\theta (A_iZ_i)^{-\theta}\right) \right]_0^{\infty} \\ & = \frac{A_i^\theta}{\sum_{j } A_j^\theta} \end{aligned}$