Ubicación residencial óptima y distribución multivariante de Frechet

Question

Estaba leyendo el periódico "Restricciones de la vivienda y mala distribución espacial" por Chang-Tai Hsieh y Enrico Moretti.

Primero definen la función de utilidad

$$\ \ V_{ji}=\varepsilon_{ji}\frac{W_{i}Z_{i}}{P_{i}^\beta},$$

donde $i$ denota la ciudad y $j$ denota individuos.

Y donde se supone que $\varepsilon_{ji}$ sigue una distribución multivariante conjunta tal que $F_{g}(\varepsilon_{1},\cdots,\varepsilon_{N})=\exp(-\sum_{i=1}^{N}\varepsilon_{i}^{-\theta})$

Luego, de repente, el documento muestra que $$(10) \ \ W_{i}=V\frac{P_{i}^{\beta}L_{i}^{\frac{1}{\theta}}}{Z_{i}},$$

donde $V$ es la utilidad media del trabajador en todas las ciudades.

Busqué las propiedades básicas de la distribución de Frechet. Si la función de distribución es $F(x)=\exp(-x^{-\theta})$ entonces la media es $\Gamma(1-\frac{1}{\theta})=\int_{0}^{\infty}x^{-\frac{1}{\theta}}\exp(-x)dx$ . Pero no veo claramente cómo se relaciona la ecuación (10) con esta propiedad. Se agradecerá cualquier pista o sugerencia para el siguiente paso.

Answer 1

Consideremos un vector de variables estocásticas $Z = (Z_1,...,Z_J)$ . Suponemos que cada $Z_j$ está distribuido por Frechet

$$Z_j \sim F(z_j) = \exp(-z_j^{-\theta}),$$

y que son mutuamente independientes, de manera que $F_Z(z) = \prod_{j=1}^J \exp(- z_j^{-\theta}) = \exp(-\sum_j z_j^{-\theta})$ . Además, se sabe que

$$\mathbb E[Z_j] = k(\theta) = \Gamma\left( 1-\frac{1}{\theta} \right).$$

Dada esta configuración, tenemos las siguientes propiedades (que se dejan sin demostrar aquí):

1. Cuando escalas $Z_j$ con una constante $A_j$ la distribución se convierte en $A_jZ_j \sim F(z) = \exp(-A_j^{\theta}Z_j^{-\theta}).$

2. La probabilidad de que $i = \arg \max_j \{A_jZ_j\}$ se da como

$$\pi_i = \frac{A_i^\theta}{\sum_j A_j^\theta }.$$

Utilizaremos estas propiedades para derivar la ecuación (10) en el texto que estás leyendo. Primero definimos la función de utilidad del agente $h$ para la alternativa $j$ como

$$U_{jh}=Z_{jh}\frac{W_{j}Q_{j}}{P_{j}^\beta},$$

y observamos que la constante de escala $A_j = {W_{j}Q_{j}/P_{j}^\beta}$ . Esto implica entonces que la probabilidad $\pi_i$ de un agente que elige la ciudad $i$ se da como

$$\pi_i = \frac{\left( {W_{i}Q_{i}/P_{i}^\beta}\right)^\theta}{\sum_j \left({W_{j}Q_{j}/P_{j}^\beta} \right)^\theta },$$

utilizando que el tamaño de la mano de obra viene dado exógenamente por el tamaño de la mano de obra en la ciudad $i$ debe ser

$$L_i = \pi_i L = \frac{\left( {W_{i}Q_{i}/P_{i}^\beta}\right)^\theta}{\sum_j \left({W_{j}Q_{j}/P_{j}^\beta} \right)^\theta } L \Leftrightarrow \\[8pt] (\star) \ \ \frac{P_i^\beta L_i^{1/\theta}}{Q_i} \underbrace{\left( \frac{\sum_j \left({W_{j}Q_{j}/P_{j}^\beta} \right)^\theta }{L} \right)^{1/\theta} }_{\text{utility per worker}} = W_i,$$

donde la utilidad por trabajador es simplemente una constante de escala independiente de $i$ el índice de la ciudad considerada.

¿Cómo podemos ver que es la utilidad por trabajador? El agente elige la alternativa que le proporciona la máxima utilidad. Definir la utilidad máxima

$$\hat U_i = \max_j \{U_{j}\},$$

entonces el $Pr(\hat U_i \leq r) = Pr(\text{all} \ U_j \leq r) = \prod_j Pr(U_j \leq r)$ utilizando la independencia. Sin embargo,

$$\prod_j Pr(U_j \leq r) = \prod_j \exp(-A_j^\theta r^{-\theta}) = \exp\left(-r^{-\theta} \cdot \sum_j A_j^\theta\right),$$ que se ve que es una distribución de Frechet y define $s:=\left(\sum_j A_j^\theta\right)^{1/\theta}$ podemos reescribirlo para obtener

$$\prod_j Pr(U_j \leq r) = \exp\left(-r^{-\theta} \cdot s^\theta\right) = \exp\left(-(r/s)^{-\theta}\right),$$

para el que la expectativa según wiki es

$$\mathbb E[\hat U] = sk(\theta) = \left(\sum_j A_j^\theta\right)^{1/\theta}k(\theta) = \left(\sum_j \left( W_{j}Q_{j}/P_{j}^\beta\right)^\theta\right)^{1/\theta}k(\theta),$$

si se inserta esto en la ecuación $(\star)$ tienes utilidad por trabajador excepto que los trabajadores son $L^{1/\theta}$ - ya que $L$ es una variable exógena esto no tiene consecuencias.