Supongamos que tengo una pdf neutral al riesgo y una pdf del mundo real de un activo. Ambas funciones están relacionadas por un factor de escala o la sdf que transformaría la densidad neutral al riesgo en la densidad del mundo real, ¿es esto correcto? ¿Podría obtener este factor de escala simplemente calculando la relación entre las densidades RW/RN a través de X? Si no, ¿por qué?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Amod Gokhale
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La razón de cualquier dos PDFs (si se puede definir: ver abajo) es simplemente la derivada de Radon-Nikodym. Las condiciones para que la derivada de Radon-Nikodym exista se dan en el teorema de Radon-Nikodym.
Mientras que en una primera lectura, la formulación rigurosa del teorema podría sonar un poco abstracta / difícil, la intuición es fácil. El teorema dice que dadas dos medidas de probabilidad $\mathbb{P}_1$ y $\mathbb{P}_2$, la derivada de Radon-Nikodym $\frac{\partial\mathbb{P}_2}{\partial\mathbb{P}_1}$ existe si las dos medidas coinciden en "lo que es posible", lo que significa que coinciden en donde las probabilidades son cero y donde son no cero (ver nota al pie*).
Ejemplo 1:
Considera dos variables aleatorias log-normales $X$ y $Y$, donde:
$$\ln{(X)}\sim N\left(\mu -0.5 \sigma^2, \sigma\right), \quad \ln{(Y)}\sim N\left(r -0.5 \sigma^2, \sigma\right)$$
Sea la PDF de $X$ $f_X$ y la PDF de $Y$ $f_Y$ (y las medidas de probabilidad asociadas inducidas por $X$ y $Y$ son $\mathbb{P}_X$ y $\mathbb{P}_Y$). Nota que el soporte de $X$ y $Y$ son los mismos: específicamente las dos variables aleatorias tienen densidades positivas en la línea real para $x>0$, mientras que sus densidades son cero para $x\leq0$: por lo tanto, estas dos variables aleatorias "coinciden en lo que es posible" (cualquier $x>0$): simplemente asignan probabilidades ligeramente diferentes a estos resultados. Así que las condiciones para que la derivada de Radon-Nikodym exista se cumplen y podemos escribir:
$$\frac{\partial\mathbb{P}_Y}{\partial\mathbb{P}_X}=\frac{f_Y}{f_X}$$
Ejemplo 2:
Ahora considera una variable aleatoria log-normal $X$ y una variable aleatoria normal $Z$, donde:
$$\ln{(X)}\sim N\left(\mu -0.5 \sigma^2, \sigma\right), \quad Z\sim N\left(\mu -0.5 \sigma^2, \sigma\right)$$
El problema aquí es que $Z$ tiene densidades positivas en toda la línea real $\mathbb{R}$ mientras que $X$ solo tiene densidades positivas para $x>0$. Así que para el caso en el que queremos ir de $\mathbb{P}_X$ a $\mathbb{P}_Z$, las condiciones para el teorema de Radon-Nikodym no se cumplen y la derivada de Radon-Nikodym no existe. De hecho, si intentáramos calcular la razón de las dos PDFs, nos encontraríamos con los siguientes problemas:
$$\frac{\partial\mathbb{P}_Z}{\partial\mathbb{P}_X}=\frac{f_Z}{f_X}=??$$
La derivada está claramente indefinida $\forall x \leq 0$ debido a la división por cero.
*Nota al pie: estrictamente hablando, para que $\frac{d\mathbb{P}_2}{d\mathbb{P}_1}$ exista, el teorema establece que $\mathbb{P}_2$ debe ser absolutamente continua con respecto a $\mathbb{P}_1$, lo que significa que siempre que $\mathbb{P}_2(A)=0$ para cualquier $A \in \mathcal{F}$, implica que $\mathbb{P}_1(A)=0$ (pero la recíproca no necesariamente debe ser verdadera).
