Fecha esperada de ejercicio - American put

Question

Estoy interesado en una estimación analítica o computacional de la fecha esperada de ejercicio de una opción put americana. ¿Hay trabajos de investigación (o discusiones en este sitio) que estimen la fecha esperada en la cual el tenedor de una opción put americana ejercería temprano?

Las fechas potenciales están limitadas $0 \le t \le T$, donde $t=0$ es la fecha actual y $t=T$ es la expiración de la opción. ¿Cuál es $\textrm{E}\left(t\right)$?

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Tengo QuantLib disponible si este problema de fecha esperada de ejercicio se resuelve con esa herramienta.

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Revisión 1

Estoy interesado en la fecha esperada de terminación $ \textrm{E}\left( t_\textrm{terminación}\right) $ para un contrato de put americana.

$$ 0 \le \textrm{E}\left( t_\textrm{terminación}\right) = \begin{cases} t_\textrm{ejercido} \le T &\text{si la opción es ejercida}\\ T & \text{de lo contrario} \end{cases} $$

Mi versión original de esta pregunta es problemática. Un put americano puede ser ejercido hasta la fecha de vencimiento $T$ del contrato o no ser ejercido en absoluto.

Answer 1

Concepto de solución

Suponiendo parámetros de lo contrario idénticos, la diferencia en valor en el tiempo $t=0$ entre un put americano $P_0$ y un put europeo $p_{~0}$ se debe al interés ganado en el precio de ejercicio desde la fecha esperada de ejercicio temprano $\bar{t}$ hasta la fecha de vencimiento $T$.

Si tanto el put americano como el put europeo se ejercen, el titular del put americano tendrá el valor futuro del precio de ejercicio ejercido temprano $K e^{r\left(T-\bar{t}\right)}$, mientras que el titular del put europeo recibirá el precio de ejercicio $K$.

$$ \begin{align} P_0 - p_{~0} &= K e^{r\left(T-\bar{t}\right)} - K \\ &\approx K \left(1 +rT -r\bar{t}\right) -K \\ \frac{P_0 - p_{~0} }{K}&\approx rT - r\bar{t} \end{align} \\ \boxed{ \bar{t} \approx T - \frac{P_0 - p_{~0} }{rK} } $$

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Interpretación

Para un par dado de puts americanos y europeos

• Si $P_0=p_{~0}$, la terminación esperada del put americano es $\bar{t} = T$.
• Si $P_0>p_{~0}$, la terminación esperada del put americano es $0 \le \bar{t} \lt T$.

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Código R

library(RQuantLib)

S <- 100     # activo subyacente
T <- .5      # vencimiento
K <- 100     # precio de ejercicio
r <- 0.0533  # tasa libre de riesgo
d <- 0       # tasa de dividendos
sigma <- .40  # volatilidad

P0 <- AmericanOption(
  "put",
  underlying = S,
  strike = K,
  dividendYield = d,
  riskFreeRate = r,
  maturity = T,
  volatility = sigma
)
p0 <- EuropeanOption(
  "put",
  underlying = S,
  strike = K,
  dividendYield = d,
  riskFreeRate = r,
  maturity = T,
  volatility = sigma
)

t_bar <- T - (P0$value - p0$value) / (r * K)

cat( sprintf('P0 = %8.3f, t_bar = %6.3f\np0 = %8.3f, T     = %6.3f',
  P0$value,t_bar,p0$value,T))
#> P0 =   10.066, t_bar =  0.456
#> p0 =    9.832, T     =  0.500

Creado el 2024-06-24 con reprex v2.1.0

Answer 2

No es una respuesta, sino un comentario sobre cómo posiblemente obtener la fecha esperada del ejercicio E(t).

Según entiendo, una opción put americana se ejerce temprano solo cuando el precio está en cero y el put está en su valor máximo. De lo contrario, siempre queda tiempo en la opción para que el precio disminuya aún más y genere más valor intrínseco para el put. Tendría más sentido negociar la opción put.

Si alguien quisiera determinar cuándo en promedio/expectativa el precio llega a cero, tendría que simular la evolución del precio del subyacente y ver qué tan seguido llega a cero (y cuándo el tenedor ejerce el put americano). El resto de las simulaciones, supongo que el tenedor la mantiene hasta el vencimiento. El tiempo esperado sería entonces un promedio ponderado del número de veces que el precio llega a cero multiplicado por su tiempo relevante y el número de veces que se mantiene hasta el vencimiento y el tiempo T.

¿Espero que tenga sentido? Estoy feliz de aclarar y discutir lo que piensas.