Derivación de varianza local por Gatheral

Question

He comprado el libro de Gatheral sobre Volatilidad Local y tengo problemas para entender una parte donde muestra que la varianza local es una expectativa condicional de la varianza instantánea.

¿Por qué en la segunda ecuación desde abajo simplemente omite el término $\theta (S_T-K)dS_T$? Dice que es porque $F_{t,T}$ es un martingala. Veo que $F_{t,T}$ es una martingala, pero no sé cómo eso ayuda. Además, ¿de qué "expectativas condicionales" está hablando? La notación parece un poco descuidada. Gracias por la ayuda.

http://www.math.ku.dk/~rolf/teaching/ctff03/Gatheral.1.pdf

Answer 1

Creo que la razón por la que desaparece ese término es que puedes escribir la expectativa de $dS_T = dF_{T,T}$ en términos de expectativas condicionales. Primero, recuerda la propiedad de la torre de las expectativas condicionales

$$\mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|Y]].$$

Entonces $$ \begin{align} \mathbb{E}\left[ \theta (S_T - K) dS_T \right] & = \mathbb{E}\left[ \theta (F_{T,T} - K) dF_{T,T} \right] = \mathbb{E}\left[ \mathbb{E}\left[ \theta (F_{T,T} - K) dF_{T,T} \Big \vert \mathcal{F}_T\right] \right] \\ & = \mathbb{E}\left[ \theta (S_{T} - K) \mathbb{E}\left[ dF_{T,T} \Big \vert \mathcal{F}_T\right] \right] \end{align} $$ y dado que $F_{t,T}$ es un martingala, $\mathbb{E}\left[ dF_{T,T} \Big \vert \mathcal{F}_T\right] = 0$.

Si alguien encuentra que mi razonamiento tiene algunos pasos "confusos", agradecería la corrección, así también puedo hacerlo correctamente.

Answer 2

Las expectativas condicionales se realizan con respecto a la filtración de su fecha de precios $t \leq T$. Debido a que $S$ es una martingala, tienes $$ \mathbb{E} \left[\theta \left(S_T - K\right) dS_T \middle\vert \mathcal{F}_t\right] = \mathbb{E} \left[\theta \left(S_T - K\right) \middle\vert \mathcal{F}_t\right] \mathbb{E} \left[d \, S_T\middle\vert \mathcal{F}_t\right] $$ Recuerda que $S_T$ es medible con respecto a $\mathcal{F}_T$, y el incremento $d\,S_T$ tiene que ser dependiente solo de $\mathcal{F}_T$ a través del valor actual del proceso $S_T$ ; para convencerte a ti mismo, simplemente reescribe $$\theta \left(S_T - K\right) dS_T = \theta \left(S_T - K\right) \sigma_T S_T dW_T$$ y recuerda que los incrementos de movimiento Browniano son independientes, por lo tanto $\mathbb{E} \left(dW_T \middle \vert \mathcal{F}_T\right) = \mathbb{E} \left(dW_T \middle \vert \mathcal{F}_t\right) = 0$.

Por eso ese término se desvanece. El resto es sencillo.