¿Son todas las subcorrespondencias de la correspondencia de Pareto débil monótonas en el dominio no restringido de órdenes lineales?

Question

Tengo una duda respecto a los conceptos bien conocidos de la optimalidad de Pareto débil y la monotonía.

Sea $N$ un conjunto finito de jugadores, sea $A$ un conjunto finito de alternativas, sea $\mathcal{P}$ el conjunto de todos los perfiles de orden lineal en $A$, y sea $F:\mathcal{P}\to 2^A\backslash\{\emptyset\}$ una correspondencia de elección social.

Sea $F^*:\mathcal{P}\to 2^A\backslash\{\emptyset\}$ la correspondencia de Pareto débil: es decir, para todos los perfiles de orden lineal $P\in\mathcal{P}$, $$\begin{gather} F^*(P)=\{x\in A\mid(\nexists y\in A)[(\forall i\in N)(yP_ix)]\} \end{gather}$$

Dado cualquier jugador $i\in N$, cualquier alternativa $x\in A$ y cualquier perfil de orden lineal $P\in\mathcal{P}$, sea $L_i(x,P)=\{y\in A\mid xP_iy\}$ el conjunto de contorno inferior del jugador $i$ en $x$.

Una regla de elección social $F:\mathcal{P}^N\to 2^A\backslash\{\emptyset\}$ es monotónica si y solo si para todas las alternativas $x\in A$ y todos los perfiles de orden lineal $P,P'\in\mathcal{P}$, lo siguiente es cierto: si $x\in F(P)$ y $L_i(x,P)\subseteq L_i(x,P')$ para todos los $i\in N$, entonces $x\in F(P')$.

Sabemos por Maskin & Sjöström (Nota al pie 15, p. 248, 2002) que la correspondencia de Pareto débil es monótona en el dominio no restringido de órdenes lineales.

Lo que me pregunto es si todas las subcorrespondencias de la correspondencia de Pareto débil también son monótonas en el dominio no restringido de órdenes lineales.

Answer 1

La pregunta en el título parece diferir de la pregunta en el cuerpo: all/any. Al menos la pregunta en el título tiene una respuesta negativa:

Sea $A=\{a,b,c\}$. Considere la sub-correspondencia de la correspondencia débil de Pareto en la cual $c$ se elimina a menos que $c$ sea el único óptimo débil de Pareto o $b$ sea un óptimo débil de Pareto. Hay dos agentes. El valor bajo el perfil que consiste en $a\succ b\succ c$ y $c\succ b\succ a$ es $\{a,b,c\}$. Sin embargo, bajo el perfil que consiste en $a\succ c\succ b$ y $c\succ b\succ a$, el valor es $\{a\}$. Así que esta sub-correspondencia no es monótona.