Costo de Cobertura y Cálculo de Ito

Question

En Dynamic Hedging de N. Taleb, en la página 198, se presenta una estrategia de stop loss que potencialmente podría replicar una opción. En particular, supongamos que uno vende una call sobre un subyacente y la cubre con un stop loss en el mercado para comprar el subyacente en el strike K y, inversamente, si el precio cae por debajo del strike K, el operador vende el subyacente.

¿Por qué el autor afirma que los costos de cobertura son $\sqrt{2/\pi}\sqrt{(\Delta S)^2}$ veces la cantidad de tiempo pasada oscilando entre $S$ y $S+\Delta S$?

Hice algunas investigaciones y encontré este ejemplo muy similar a la paradoja de la estrategia de stop loss / comienzo de ganancias resuelta en Carr (1990) o al Ejercicio 4.21 en Cálculo Estocástico para Finanzas II por Shreve. Desafortunadamente, no soy tan competente con las matemáticas involucradas para determinar si mi pregunta está relacionada con esta paradoja.

¿Alguien podría decirme si están relacionadas? Y de ser así, ¿de dónde proviene el término $\sqrt{2/\pi}\sqrt{(\Delta S)^2}$?

Gracias por la ayuda. Avísenme si se necesitan más detalles.

Answer 1

Voy a tratar de explicar lo que significa Taleb. Aunque considero que la explicación de Taleb no es del todo correcta.

Supongo que sabes lo que son/hacen las funciones Heaviside y delta de Dirac, ya que aparecen en la siguiente descomposición de un pago de opción que se llama fórmula de Tanaka-Ito-Meyer: $$ (S_T - K)_+ = (S_0 - K)_+ + \int_0^T \theta(S_t - K) dS_t + \frac12 \int_0^T \delta(S_t - K) (dS_t)^2 $$ El lado izquierdo es el pago terminal. El primer término a la derecha de la igualdad es el valor intrínseco de una opción, el segundo término es la ganancia/pérdida sobre $[0,T]$ de comprar una unidad del activo cuando $S_t > K$ y vender esa unidad / no comprar el activo si $S_t < K$. El tercer término es el "tiempo local".

Dado que $\delta(S_t - K)$ es 1 si $S_t = K$ y 0 en caso contrario, ya puedes ver que el tercer término tiene algo que ver con la cantidad de tiempo $S_t = K$, o más precisamente $S_t \in [K,K+dK]$.

Supongamos que vivimos en un mundo de Black-Scholes y para simplificar tomemos $r=q=0$: $$ dS_t = \sigma S_t dW_t, \enspace (dS_t)^2 = \sigma^2 dt, \enspace \sigma = \text{const.} $$ Para encontrar el costo de algo, como sabes, necesitas tomar una expectativa neutra al riesgo. Entonces $$ C(S_0,K,T) = (S_0 - K)_+ + \frac12 \sigma^2 \int_0^T E_0 [S_t^2 \delta (S_t - K) ] dt $$

Dado que en el mundo de Black-Scholes la volatilidad es constante, podemos escribir $$ \frac12 \sigma^2 \int_0^T E_0 [S_t^2 \delta (S_t - K) ] dt = \frac12 \sigma^2 K^2 \int_0^T \frac{ \partial^2 C(S_0, K, t) }{ \partial K^2} dt $$ Pero el integrando $\frac{ \partial^2 C(S_0, K, t) }{ \partial K^2}$ no es más que la probabilidad de que $S_t \in [K, K+dK]$ en el tiempo $t$ dado $S_0$ hoy. La probabilidad multiplicada por $dt$ e integrada en el intervalo $[0,T]$ no es más que el tiempo total que pasa el punto en un intervalo infinitesimal alrededor de la huelga $K$. Además, $\sigma^2 K^2 = (dS_t)^2_{S_t = K}/dt$.

Entonces, en mi opinión, lo que Taleb debería haber escrito es que el costo de cobertura es $$ \frac12 \times ((dS_t)^2_{S_t = K}/dt)\times \text{el tiempo pasado oscilando entre $K$ y $K\pm dK$}. $$