Configuración para probar la ecuación 3.4 de Grinold

Question

Actualmente estoy estudiando el Active Portfolio Management de Grinold, y utilicé la siguiente ecuación para responder uno de los ejercicios:

.. supongamos que la correlación entre los rendimientos de todos los pares de acciones es igual a $\rho$. Entonces, el riesgo de una cartera igualmente ponderada es

$$\sigma_P = \sigma \cdot \sqrt{\frac{1 + \rho \cdot (N - 1)}{N}}$$

Sin embargo, al usar esta ecuación, me di cuenta de que realmente no sé por qué es cierta. Quizás sea una pregunta obvia, pero ¿cómo demostrarías que esta ecuación es verdadera? Me doy cuenta de que no sé muy bien cómo escribir convenientemente la ecuación total de riesgo aquí y reducirla.

Answer 1

Para derivar la volatilidad simplificada de la cartera, también se asume una varianza igual $\sigma_i = \sigma$ para todos los $i$.

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Supongamos que tenemos una cartera de $n$ activos con correlación y varianza común. Por lo tanto, $w_i = \frac{1}{n}$, $\rho_{ij} = \rho$ y $\sigma_i = \sigma$ para todos los $i,j=1,\ldots,n$.

Entonces, la varianza de la cartera se puede simplificar algebraicamente:

\begin{align*} \sigma^2_p &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_i w_j\sigma_i\sigma_j \rho_{ij} \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{1}{n}\frac{1}{n} \sigma \cdot \sigma \cdot \rho\\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{1}{n^2} \sigma^2 \cdot \rho\\ &= \frac{\sigma^2 }{n^2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \rho \end{align*} Ahora, para $i=j$ sabemos que la correlación consigo mismo es $\rho_{ii} = 1$. Hay $n$ elementos diagonales, lo que significa que tenemos $\sum_{i=1}^n \rho_{ii} = n$. Además, existen $n^2-n$ elementos fuera de la diagonal en una matriz de $n \times n$. Usando estos resultados obtenemos: \begin{align*} \ldots &= \frac{\sigma^2 }{n^2}\left(\sum_{i=1}^n \rho_{ii} + \sum_{i=1}^n \sum_{j\neq i} \rho_{ij} \right)\\ &= \frac{\sigma^2 }{n^2}\left(n+ \rho \cdot (n^2 - n) \right)\\ &=\frac{\sigma^2 }{n^2} \cdot n \cdot \left(1 + \rho \cdot (n - 1) \right)\\ &=\sigma^2 \cdot \frac{1 + \rho \cdot (n - 1)}{n} \end{align*}

Ahora, la fórmula para la volatilidad de la cartera sigue directamente al tomar la raíz cuadrada:

$$ \sigma_p = \sigma \cdot \sqrt{\frac{1 + \rho \cdot (n - 1)}{n}} $$

Se debe tener en cuenta que la varianza de la cartera también se puede derivar usando álgebra de matrices en $\sigma_p^2 = w^T \Sigma w$.

Answer 2

Para completar, permítanme agregar el enfoque utilizando álgebra lineal. Sea la matriz de covarianza

$$ \begin{align} \Sigma&=\sigma^2\begin{pmatrix} 1&\rho&\rho&\ldots&\rho \\ \rho&1&\rho&\ldots&\rho \\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots \\ \rho&\rho&\rho&\ldots&1 \end{pmatrix}\\ &=\sigma^2\left((1-\rho)\mathbf{I}+\rho\mathbf{1}\mathbf{1}^T\right) \end{align} $$

Dado el vector de peso $w=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1}^T\mathbf{1}}$, es decir, $w_i=1/n$, la varianza del portafolio es

$$ \begin{align} \mathrm{Var}_w&=w^T\Sigma w\\ &=\sigma^2\frac{\mathbf{1}^T}{\mathbf{1}^T\mathbf{1}}\left((1-\rho)\mathbf{I}+\rho\mathbf{1}\mathbf{1}^T\right)\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1}^T\mathbf{1}}\\ &=\sigma^2\left((1-\rho)\frac{1}{\mathbf{1}^T\mathbf{1}}+\rho\right)\\ &=\sigma^2\frac{1+\rho(n-1)}{n} \end{align} $$