Una pregunta de entrevista de trabajo cuantitativo sobre futuros (de juguete)

Question

El lunes, recibes precios para cada día de la semana: $X_{1,1}, \ldots, X_{1,5}$.

El martes, recibes precios para el martes, miércoles, jueves y viernes: $X_{2,2}, \ldots, X_{2,5}$.

El miércoles, recibes precios para el miércoles, jueves y viernes: $X_{3,3}, \ldots, X_{3,5}$.

El jueves, recibes precios para el jueves y viernes: $X_{4,4}, X_{4,5}$.

El viernes, recibes el precio para el viernes: $X_{5,5}$.

Tienes un producto para vender y deseas venderlo en cualquier día, pero al mejor precio.

El lunes, puedes:

• venderlo a $X_{1,1}$

o

• comprometerte a venderlo más tarde, el martes a $X_{1,2}$, ..., el viernes a $X_{1,5}$

o

• esperar para tomar una decisión.

Obviamente, el martes el mismo proceso comienza de nuevo y continúa hasta el viernes, donde debes venderlo a $X_{5,5}$ si aún no lo has vendido.

Suponiendo que $X_{i,j}$ para un $j$ fijo es una martingala (puedes especificar la distribución que te convenga para simplificar los cálculos), ¿cómo encuentras la mejor estrategia?

La ecuación de Bellman es fácil de escribir, pero no encontré ninguna distribución que simplificara los cálculos. ¿Cómo proceder excepto de manera numérica? La ecuación recursiva (Bellman) es:

$v_5(x_{5,5}) = x_{5,5}$

y para $n \in \{1, \ldots, 4\}$:

$v_n(x_{n,n}, \ldots, x_{n,5}) = \max(x_{n,n}, \ldots, x_{n,5}, \mathbb{E}[v_{n+1}(x_{n,n+1} + \epsilon_{n,n+1}, \ldots, x_{n,5} + \epsilon_{n,5})])$ para algunos ruidos independientes.

Fácilmente obtenemos $v_4(x_{4,4}, x_{4,5}) = \max(x_{4,4}, x_{4,5})$, pero luego, no hay ninguna pista para llegar a $v_3$, $v_2$ y eventualmente $v_1$

La siguiente pregunta fue sobre el mismo problema durante un mes... Huele a maldición de la dimensionalidad...

Answer 1

Intenté resolver este problema, pero estoy muy oxidado. Se agradecen todos los comentarios y correcciones.

Para variables aleatorias que usemos, vamos a asumir que son agradables y tienen expectativa finita y varianza finita.

$v_5(x) = x$ como dijiste.

$v_4(x, y) = \max(x, y, \mathbb{E}(v_{5}(x_{5, 5})| x_{4, 5} = y) = \max(x, y)$ (de nuevo, como dijiste).

$v_5$ era lineal por lo que se llevaba bien con las expectativas y obtuvimos algo trivial, pero $v_4$ no lo es, así que es más complicado.

$v_3(x, y, z) = \max(x, y, z, \mathbb{E}(v_{4}(x_{4, 4}, x_{4, 5})| x_{3, 4}=y, x_{3, 5}=z))$

$= \max(x, y, z, \mathbb{E}(\max(y + \epsilon_1, z + \epsilon_2))$ donde $e_i$ son aleatorios, con media cero e independientes.

La desigualdad de Jensen nos da que $\mathbb{E}(\max(y + \epsilon_1, z + \epsilon_2)) > \max(y, z)$ así que la expresión se simplifica a $v_3(x, y, z) = \max(x, \mathbb{E}(\max(y + \epsilon_1, z + \epsilon_2)))$

$v_2(x, y, z, w) =\max(x, \mathbb{E}( \max(y + \epsilon_y, \mathbb{E}(\max(z + \epsilon_1 + \epsilon_2, w + \epsilon_3 + \epsilon_4)))$

Necesito revisar esto nuevamente, pero creo que puedo decir por la propiedad de la torre, esto da: (edición: este paso probablemente sea un error, necesito actualizar el resto de la ecuación para no hacer esto)

$v_2(x, y, z, w) =\max(x, \mathbb{E}( \max(y + \epsilon_1, z + \epsilon_2 + \epsilon_3, w + \epsilon_4 + \epsilon_5))$

(en otras palabras, la "expectativa interior" está subsumida)

Y siguiendo esto (me estoy quedando sin letras de variables...)

$v_1(x, y, z, w, t) = \max(x, \mathbb{E}(\max(y + \epsilon_1, z + \epsilon_2 + \epsilon_3, w + \epsilon_4 + \epsilon_5 + \epsilon_6, t + \epsilon_7 + \epsilon_8 + \epsilon_9)))$

(nota que hay un epsilon asociado con el segundo término, dos con el tercer término, y tres con tanto el cuarto como el quinto, simplemente porque $v_5$ era lineal así que el último epsilon se anulaba por la expectativa.

Si $e_i$ son por ejemplo $N(0, 1)$ esto da

$v_1(x, y, z, w, t) = \max(x, \mathbb{E}(\max(y + \epsilon_1, z + \sqrt{2}\epsilon_2, w + \sqrt{3}\epsilon_4, t + \sqrt 3\epsilon_5)))$

y luego puedes calcular esa expectativa como prefieras: puede ser desafiante numéricamente o no.

Answer 2

En primer lugar, la mayoría de esta respuesta se debe a Rylan, cuya respuesta me dio la idea de reducir el número de estados a 5. Esto me permitió evitar el uso de la ecuación de Bellman, que probablemente es demasiado compleja para la versión simplificada del problema.

Debido a la simplificación que discutí en el comentario, solo hay 5 estados en el problema donde cada estado corresponde al día $i$ de la semana. En cuanto a los precios, vamos a dejar que

$$ p_{1} = precio~~ lunes $$ $$ p_{2} = precio~~ martes $$ $$ p_{3} = precio~~ miércoles $$ $$ p_{4} = precio~~ jueves $$ $$ p_{5} = precio~~ viernes $$

Dado que se asume que $p_{i}$ es una martingala, asumiremos que $p_{i+1} = p_{i} + \epsilon_{i+1} $ donde $\epsilon_{i+1}~\sim~ N(0,1)$.

Luego, claramente $E(p_{i+1}) = p_{1} ~\forall~ i = 1,2,3,4$

También, vamos a dejar que $s_{i} = 1$ si se elige detenerse en el precio $i$ y seleccionarlo como el precio de venta. De lo contrario, $s_{i} = 0$.

Claramente, para maximizar el valor de la estrategia, se quiere hacer la mejor elección de cuándo detenerse. Esto significa que el objetivo es $max \left(E\left(\sum_{i=1}^{5}s_{i} p_{i}\right)\right)$

Pero $max \left(E\left(\sum_{i=1}^{5}s_{i} p_{i}\right)\right) = max \left(\sum_{i=1}^{5}s_{i} E(p_{i})\right) = max \left(\sum_{i=1}^{5}s_{i} p_1\right) $

La última igualdad en la última línea anterior es porque $E(p_{i}) = p_{1}$ lo cual se debe a $p_{i}$ ser una martingala. Dado que la expresión que se está maximizando es independiente de los precios futuros, entonces, para maximizar esa expresión, no importa cuándo se detenga uno. Cualquier $i$ elegido resultará en la misma expectativa, por lo que no hay nada que maximizar. El máximo de la expectativa se obtiene sin importar qué $i$ se elija.

Es probable que esta pregunta se haya planteado principalmente porque demuestra la versión discreta del teorema de parada óptima de Doob. El enlace proporciona una explicación y prueba muy buena. https://math.dartmouth.edu/~pw/math100w13/lalonde.pdf