¿De dónde proviene la condición en la que la demanda agregada puede escribirse como función de la riqueza agregada?

Question

Estoy autoestudiando el capítulo 4 de MWG, y dice que la demanda agregada $x(p,w_1,...,w_I)=\Sigma_{i=1}^Ix_i(p,w_i)$ puede escribirse como función de $W=\Sigma_i^I w_i$, es decir, $\Sigma_{i=1}^Ix_i(p,w_i)=x(p,W)$, debemos tener $$\Sigma_i\frac{\partial x_{li}(p,w_i)}{\partial w_i} dw_i=0$$ bajo la condición de $\Sigma dw_i=0$.

Quiero saber por qué esto es así matemáticamente, ¿de dónde viene? ¿Alguien puede demostrarlo?

Answer 1

Considera un cambio en la distribución de la riqueza $dw_i$ que deja la riqueza agregada $\sum_i w_i = W$ sin cambios: $$ \sum_i dw_i = 0, $$ Sea $X(p, w_1, \ldots, w_N)$ la demanda agregada. Ahora asumimos que esto se puede escribir en términos de precios y riqueza agregada $W$. Entonces obtenemos: $ X(p,\underbrace{W}_{\sum_i w_i})$.

Por lo tanto, $$ \sum_i x_i(p, w_i) = X(p,W). $$ Tomar la diferencial nos da: $$ \sum_i \frac{\partial x_i(p,w_i)}{\partial w_i} dw_i = \frac{\partial X(p,W)}{\partial W} \sum_i \underbrace{\frac{\partial W}{\partial w_i}}_{=1} dw_i. = 0 $$