Si estás dispuesto a restringir la atención al interior, entonces en una economía de dos bienes y dos agentes - dadas funciones de utilidad diferenciables, estrictamente cóncavas y crecientes - la curva de Pareto debe ser creciente. Entonces, $\textit{a fortiori}$, la curva de contrato también es creciente.
Para ver que el conjunto de Pareto es representable por una función creciente en este caso, primero recordemos que dada diferenciabilidad, estricta concavidad y monotonicidad, una asignación interior es Paretiana si y solo si $MRS_1(x_{11},x_{12})=MRS_2(x_{21},x_{22})$. Por lo tanto, dada una dotación de la economía de $(\omega_1,\omega_2)$, el conjunto de Pareto está definido implícitamente por la siguiente relación (las preferencias no son saciadas localmente, por lo que las restricciones de la dotación son vinculantes), $$P(x_{11},x_{12}):=MRS_1(x_{11},x_{12})-MRS_2(\omega_1-x_{11},\omega_2-x_{12})=0$$
Aplicando el teorema de la función implícita, obtenemos $$\frac{d x_{12}}{d x_{11}}=-\frac{\partial_{x_{11}}P}{\partial_{x_{12}}P}=-\frac{\partial_{x_{11}}MRS_1+\partial_{x_{21}}MRS_2}{\partial_{x_{12}}MRS_1+\partial_{x_{22}}MRS_2}$$
Dada la estricta concavidad (que implica $MRS$ decrecientes), tenemos $$\begin{align}\partial_{x_{11}}MRS_1<0 \\ \partial_{x_{21}}MRS_2<0 \\ \partial_{x_{12}}MRS_1>0 \\ \partial_{x_{22}}MRS_2>0 \end{align}$$ Por lo tanto, sobre el conjunto de Pareto $$\frac{d x_{12}}{d x_{11}}>0$$ Por lo tanto, como la curva de contrato es un subconjunto del conjunto de Pareto, también es una curva creciente en la caja de Edgeworth. Además, dado que la curva es estrictamente creciente, esto también prueba que la relación del conjunto de Pareto no puede ser de muchos a uno.
En cuanto a tu pregunta sobre si la relación del conjunto de Pareto puede ser de uno a muchos, el teorema de la función implícita demuestra la existencia de una única $\textbf{función}$ (por lo tanto, no una relación de uno a muchos) que caracteriza el conjunto de Pareto. Más explícitamente, la disminución de $MRS$ elimina la posibilidad de uno a muchos. Supongamos que hay algún $(\tilde{x}_{11},\tilde{x}_{12})$ que es Paretiano. Fijemos algún $\hat{x}_{12}> \tilde{x}_{12}$ que es factible. Al disminuir $MRS$, $$ \begin{align} MRS_1(\tilde{x}_{11},\hat{x}_{12})&>MRS_1(\tilde{x}_{11},\tilde{x}_{12}) \\ MRS_2(\omega_1-\tilde{x}_{11},\omega_2-\hat{x}_{12})& Entonces $P(\tilde{x}_{11},\hat{x}_{12})>P(\tilde{x}_{11},\tilde{x}_{12})=0$ lo que significa que $(\tilde{x}_{11},\hat{x}_{12})$ no puede ser Paretiano ya que $MRS_1>MRS_2$. Un argumento análogo, $\textit{mutatis mutandis}$, funciona para demostrar que ningún $\hat{x}_{12}<\tilde{x}_{12}$ puede resultar en una asignación de Pareto. Por lo tanto, la correspondencia del conjunto de Pareto no puede ser de uno a muchos.
