Una pregunta sobre Lagrangiano, teorema KKT, problema del consumidor

Question

Supongamos que queremos maximizar una función de utilidad esperada: $$E_1(u(C_1,C_2,C_3)) $$ sujeta a las siguientes restricciones. Hay dos posibles situaciones, cada una con una probabilidad $\frac{1}{2}$. $$C_1 + S_1 = Y $$

\begin{cases} C_{2,1} + S_{2,1} = Y + S_1 + \varepsilon \\ C_{3,1} = Y + S_{2,1} & \text{con probabilidad } \frac{1}{2} \end{cases}
\begin{cases} C_{2,2} + S_{2,2} = Y + S_1 - \varepsilon \\ C_{3,2} = Y + S_{2,2} & \text{con probabilidad } \frac{1}{2} \end{cases}
$C_1, C_{2,1}, C_{2,2}, C_{3,1}, C_{3,2} > 0$.

¿Cómo podemos resolver este modelo usando el lagrangiano, al ignorar la desigualdad? Nunca he visto modelos similares antes, así que estoy atascado al principio de escribir un Lagrangiano.

Además, si incluimos una restricción de liquidez, que $S_1,S_{2,1},S_{2,2}\geq 0$? ¿Puedo convertir estas restricciones de desigualdad en $Y$ y $\varepsilon$, y usar el teorema de KKT? Realmente no tengo idea al respecto.

Aquí puedes considerar que $C_i$ es el consumo en el periodo $i$, $C_{i,j}$ es el consumo en el periodo $i$ con la situación $j$ (ya sea agregar o restar $\varepsilon$), y $S$ definido de manera similar.

Answer 1

El Lagrangiano puede escribirse como

$$L(C_1,C_{21},C_{31},C_{22},C_{32},S_1,S_{21},S_{22}) = p_1 \times u(C_1,C_{21},C_{31}) + p_2 \times u(C_1,C_{22},C_{32}) + \alpha(Y-C_1-S_{1}) + \lambda_2(Y+\epsilon +S_1 - C_{21} - S_{21}) + \lambda_3(Y+S_{21} - C_{31}) + + \delta_2(Y-\epsilon +S_1 - C_{22} - S_{22}) + \delta_3(Y+S_{22} - C_{32}),$$

Para lo cual el conjunto de condiciones de primer orden es

\begin{align} \frac{\partial L}{\partial C_{1}} &= p_1 \frac{\partial U}{\partial C_1} + p_2 \frac{\partial U}{\partial C_1} - \alpha = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial C_{21}} &= p_1 \frac{\partial U}{\partial C_{21}} - \lambda_2 =0\\ \frac{\partial L}{\partial C_{31}} &= p_1 \frac{\partial U}{\partial C_{31}} - \lambda_3 =0\\ \frac{\partial L}{\partial C_{21}} &= p_2 \frac{\partial U}{\partial C_{22}} - \delta_2 =0\\ \frac{\partial L}{\partial C_{32}} &= p_2 \frac{\partial U}{\partial C_{32}} - \delta_3 =0\\ \frac{\partial L}{\partial S_1} &= -\alpha + \lambda_2 + \delta_2=0\\ \frac{\partial L}{\partial S_{21}} &= - \lambda_2 + \lambda_3 =0\\ \frac{\partial L}{\partial S_{22}} &= - \delta_2 + \delta_3 =0.\\ \end{align}